Dm sur les équations du 2nd degré

[inviteaf6817ea]

Bonjour, j'ai un DM à faire mais j'ai un peu de mal avec les équations du second dégré; Pouvez vous m'expliquer svp..merci !

Soit f la fonction définie sur I = [-1 ; +infini [ par f(x)= V(x+3)²-4
et g la fonction définie sur J = [0 ; +infini [ par g(x) = Vx²+4 -3 ( Racine ² de x²+4)

1/ Vérifiez que les fonctions f et g sont bien définie sur I et J.
2/ Etudiez les variations des fonctions f et g sur I et J.
3/ Démontrez que la fonction f-g est minorée par 3 sur J.
4/ En déduire la position relative de (Cf) et de (Cg) sur J dans un repère du plan.
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[invite6cf1de63]

Bonjour,
Est-ce bien : et ?

1) f est la composée de avec la fonction racine carrée qui n'est définie que sur l'ensemble des nombres positifs

Il faut donc vérifier que sur l'intervalle I , l'expression donne bien un résultat positif.

[inviteaf6817ea]

Oui tu les as bien écrit f(x) et g(x).

Pour la 2/ comment je dois faire pour montrer les variations de f(x) et g(x) ?

[invite6cf1de63]

Pour la 2/ comment je dois faire pour montrer les variations de f(x) et g(x) ?

Deux méthodes :
* étudier le signe de la dérivée.
* utiliser les résultats généraux sur la composition de fonctions, tel que : "la composée de deux fonctions croissantes est une fonction croissante" (ici on utilise des fonctions affines, carrée et racine carré)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf6817ea]

Pour f(x), je l'ai réussi. Par contre g(x) je n'ai pas compris ce que tu as dit..

[inviteb05fa7c2]

Tu commences par regarder l'ensemble sur lequel chaque fonctions est dérivable.
Puis tu les dérives.
En suite, tu regardes sur quels ensembles ces dérivés sont positives (ce qui veut dire que la fonction y croit)
et sur quel ensembles ces dérivés sont négative (ce qui veut dire que la fonction décroit)
Tu résumes le tout dans ton tableau de variations et c'est bon.

[invite6cf1de63]

La fonction g est du même acabit que f, il suffit de suivre la même méthode pour s'en sortir.

[inviteaf6817ea]

Il faut que je dérive ? Je n'ai pas encore appris la dérivation :s Pouvez vous me dire comment fait t-on le tableau de variation ?

[invite6cf1de63]

Il faut que je dérive ? Je n'ai pas encore appris la dérivation

Dans ce cas tu dois passer par la composition de fonctions, que tu as du voir en classe.

Ainsi pour obtenir on suit les étapes :



Pour passer d'une étape à la suivante on compose par une fonction (carré, affine, racine carré, affine), comment sont ces fonctions, sont-elles croissantes, décroissantes ? (attention, l'intervalle des nombres considérés à chaque fois est important)

[inviteaf6817ea]

J'ai fait 0 < x < 1
et a la fin je trouve : sqrt(4)-3 < sqrt(x+4) < sqrt(5)-3
Il sont dans le même sens, donc la fonction est croissante sur [-1: + infini ]
c'est ça ???

[invite6cf1de63]

J'ai fait 0 < x < 1
et a la fin je trouve : sqrt(4)-3 < sqrt(x+4) < sqrt(5)-3
Il sont dans le même sens, donc la fonction est croissante sur [-1: + infini ]
c'est ça ???

Tu te trompes d'intervalle, pour c'est

On prend donc et on passe d'abord au carré.
Comment sont et l'un par rapport à l'autre ?

Que se passe-t-il ensuite lorsqu'on ajoute partout 4 ?

[inviteaf6817ea]

A la fin, je trouve : -1 > /srqt{a²+4} -3 > /srqt{b²-4}-3

Est ce juste ? et quelle conclusion peut t-on y mettre ?

[invite6cf1de63]

Il y a un léger problème, ce ne peut pas être , c'est forcément +4.

Sinon malheureusement les inégalités ne sont pas dans le bon sens, tu as du te tromper dans une étape et tu devrais les détailler ici.

[inviteaf6817ea]

0 < a < b
0 < a² < b²
4 < a² + 4 < b² + 4
2 > Va²+4 > Vb²+4
-1 > Va²+4 -3 > Vb²+4 -3

Ou me suis je trompée ?

[invite6cf1de63]

La fonction racine carré est strictement croissante sur R+, elle conserve l'ordre, donc on a :

[inviteaf6817ea]

D'accord, donc les variations ne changent pas. Que peut t-on en déduire alors sur les variations de g(x) ?

[inviteaf6817ea]

D'accord, donc les variations ne changent pas. Que peut t-on alors en déduire sur les variations de g(x) ?

[invite6cf1de63]

Quelques soient les nombre a et b tels que on a montré que .

Cela signifie qu'en passant aux images (par la fonction ) l'ordre est conservé.

Donc est une fonction strictement croissante sur .

[inviteaf6817ea]

D'accord, merci.
et peux tu me dire comment démontrer que la fonction f-g est minorée par 3 sur J ?.
Ma prof m'en a vaguement parlé, donc je ne comprend pas.

[invite6cf1de63]

Il faut écrire :

Puis démontrer que pour tout on a .

Pour cela on peut utiliser l'expression conjuguée...

[inviteaf6817ea]

Quelle est cette expression conjuguée ? ^^

[inviteaf6817ea]

J'ai mis \sqrt{(x+3)^2-4}-\sqrt{x^2+4} > 0
Ensuite : ((x+3)²-4 - -x²+4)) / ( rac²(x+3)²-4 - rac²x²+4

Est ce que c'est juste ?

[invite6cf1de63]

Si tu n'as pas vu l'expression conjuguée il faut que tu utilises une autre méthode dans ce cas.

Commence par développer et réduire l'expression sous le premier radical et essaie de comparer avec . Lorsque tu y seras arrivé tu pourras comparer les deux racines carrées et en déduire la comparaison de leur différence avec 0.