[perso] trigo sin(a + b)

[Alzen McCAW]

bonjour,

comment on s'y prend pour trouver:
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a ?

merci
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[invite6cf1de63]

Un des moyens est d'établir la formule donnant les coordonnées de l'image d'un point du cercle trigonométrique par la rotation de centre O et d'angle . Et d'appliquer ce résultat au point formant l'angle en O avec l'axe des abscisses.

Voici ce que cela donne avec le point A(x;y) qui donne B par la rotation de centre 0 d'angle .




On détermine les coordonnées de H à partir de A par la proportionnalité (OA=1 tandis que OH=cos β), cela donne H(x.cos β; y.cos β) (qui sont aussi les coordonnées du vecteur OH...)

Le vecteur HB étant orthogonal au vecteur OA il est colinéaire à (-y;x) et comme sa norme est sin β on en déduit que les coordonnées du vecteur HB sont (-y.sin β; x.sin β).

Il n'y a plus qu'à appliquer la relation de Chasles pour trouver les coordonnées de B, soit (x.cos β-y.sin β; x.sin β+y.cos β)

Voilà pour la formule.

Si maintenant on considère que le point A forme un angle "α" en O par rapport à l'axe des abscisses, ce point A a pour coordonnées (x;y)=(cos α; sin α). Le point B forme quant à lui un angle (α+β) et ses coordonnées sont (cos(α+β) ; sin(α+β)) qui doivent correspondre à ce que donne A par la formule précédente:

cos(α+β) = cos α.cos β - sin α.sin β
sin(α+β) = cos α.sin β + sin α.cos β

[inviteea028771]

Sinon en passant par la forme exponentielle des complexes :





On identifie ensuite partie réelle et partie imaginaire.

[Alzen McCAW]

merci à vous deux,
j'en suis pas encore aux complexes forme expo... mais j'la garde sous la main
je vais voir avec la méthode de croux par vecteur, ça ressemble à méthode produit scalaire...

je cherche à voir s'il n'y a pas une méthode ultérieure, à l'arrache avec les triangles dans le cercle trigo
de quel siècle date ces formules ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alzen McCAW]

ha ben zut, coquille :

...je cherche à voir s'il n'y a pas une méthode antérieure (et pas ultérieure),...

[Alzen McCAW]

re,

je bloque sur le vect (-y;x)

Le vecteur HB étant orthogonal au vecteur OA il est colinéaire à (-y;x)

[Alzen McCAW]

Re,

je cherche à voir s'il n'y a pas une méthode antérieure, à l'arrache avec les triangles dans le cercle trigo

j'ai trouvé la méthode archéologique, et là avec d'autres astuces ; c'est pas aussi sexy que les vecteurs ou les complexes, pour sûr, mais je m'émerveille toujours de voir que le cerveau des anciens n'a rien a nous envier.
Par contre, je n'est toujours pas trouvé à quelle période de l'histoire cela à été découvert, ni par qui.