Démonstration pour une suite Un

[inviteb57fcaf3]

Bonsoir !

Petite question...

Si je dis démontré que U_n>n² ...
Comment faire par récurrence... ??

Merci bien
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[invite8e72cae1]

Salut tu as que ca dans l'énoncé?
Il faut que tu démontre que cette propriété est vrai au rang n+1

[inviteb57fcaf3]

J'ai U_o=1
U_n+1=U_n+2_n+3

1) Etudier la monotonie de la suite (U_n)
2)a- Démontrer que, pour tout entier naturel n, U_n>n²

La 1) déjà répondu, mais la je bloque

[inviteea028771]

Dans ce cas là une réccurence est adaptée.

Tu suppose que Un > n², et tu montres que U(n+1) > (n+1)² :

U(n+1) = U(n) + 2n + 3 > n² + 2n +3 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb57fcaf3]

J'ai donc fais grâce à vous:
U_n+1 > (n+1)²
U_n+2n+3 > n² +2n+3
U_n> n²+2n+3-2n-3 (les 2n et 3 s'élimine)

Il reste donc U_n>n²

Est-ce bon?

[zyket]

Personnellement je ne sais pas si la démonstration par récurrence est valable en partant de n+1 pour aller à n.

Normalement on part du rang n, c'est à dire ici on suppose que la proposition Un>n² est vraie. En additionnant de chaque côté de l'inégalité des termes convenablement choisis on cherche à arriver à U(n+1)> à quelque chose. Ce quelque chose étant plus grand que (n+1)² alors U(n+1) sera p)lus grand que (n+1)²

Attention de penser à initialiser la démonstration par récurrence. C'est à dire de vérifier que la proposition est vraie au rang 0.

[invite8e72cae1]

Si c'est vrai , par exemple lorsque tu as une somme il est beaucoup plus simple de partir du rang n+1 pour faire le telescopage....

[inviteb57fcaf3]

Alors la je suis désolé de vous le dire, mais vous m'avez perdu... =S

[inviteea028771]

Heu... non, ça n'est pas valable : "si U(n+1) > (n+1)² alors U(n) > n²" n'implique pas "Si U(n) >n² alors U(n+1) > (n+1)²"

Par exemple la suite définie par U(n+1) = U(n)+1 vérifie bien "Si U(n+1) > (n+1)² alors U(n) >n²", pourtant on a pas "Si U(n) >n² alors U(n+1)>(n+1)²"

[invite56963a35]

Salut,

(je ne suis qu'en seconde donc pas du tout étudié mais j'ai déjà eu l'occasion de pratiquer ce genre de raisonnement)

Je crois que dans ta propriété, tu considères dès le début comme vrai la propriété comme vraie pour n, tu dois prouver qu'elle l'est donc pour n+1, or toi tu arrives à une conclusion que tu avais déjà posé comme admise : Un > n². Tu dois arriver à U(n+1) > (n+1)²

[inviteec33ac08]

Attention à ne pas oublier l'initialisation !

[zyket]

Conclusion dans le doute ChoupieNamour part de l'inégalité U(n) > n². Que dois tu rajouter de chaque côté de l'inégalité pour que à gauche tu obtiennes une expression de U(n+1), sachant que U(n+1)=Un+2n+3 ?

Rappel dans une inégalité ajouter ou soustraire la même quantité de chaque côté ne change pas le sens de cette inégalité. En effet si on a : a<b alors a+c<b+c quelque soit c.

(Ce qui n'est pas le cas si on multiplie ou divise chaque terme de l'inégalité par le même nombre. En effet si on a :a<b alors a.c<b.c si c>0 et si c<0 alors a.c>b.c)