Fonction continue - Dénombrer les solutions d'une équation

[invite940204fc]

Bonjour à tous,
J'ai un petit exercice à préparer mais, étant bloqué (presque au début) j'aurais besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :

On veut résoudre l'inéquation x^3 + 3/x < 5 sur l'intervalle ]0;+oo[
En étudiant les variations de la fonction x -> x^3 + 3/X sur l'intervalle ]0;+oo[, démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation est un intervalle ]a;b[, où a et b sont deux réels dont on donnera une valeur approchée à 10^-2 près.

Comme demandé, je commence par étudier les variations de la fonction disons f(x)=x^3 + 3/X en la dérivant.
J'obtiens alors f'(x) = 3x² + 3/x² = 3*(x²+1/x²)
Je calcule également les limites aux bornes du domaine de définition : en 0 et en +oo, Lim g(x) = +oo
J'imagine que c'est une parabole (et la calculatrice va du même avis) et je cherche alors le minorant. En regardant x² + 1/x² je vois que ça doit être 1 mais je ne sais pas comment le prouver.
Suis-je sur le bon chemin ou ce n'est pas du tout ça qu'il faut chercher ?
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[inviteea028771]

Manque de bol ta dérivée n'est pas correcte (il y a un signe - qui devrait apparaitre)

[invite940204fc]

Effectivement, une erreur un peu bête mais qui bloque tout...
Après correction on a donc g'(x) = 3x² - 3/x² = 3*(x²-1/x²)
On voit quand g'(x) s'annule x²-1/x² = 1 <=> x=1
Je fais le tableau de signe de g'(x), de variation de g' et de signe de g ]+oo ; 4 (pour x=1) ; +oo[

Maintenant je sais que le réel a est compris en ]0;1[ et b en ]1;+oo[ car g(x) est dérivable (donc continue)
J'utilise la calculatrice (le Solver) pour chercher le x pour lequel x^3+3/x-5 = 0 aux alentours de 0,5 (pour éviter qu'il me donne la solution b) et j'obtiens a~= 0.63
Puis je fais la même chose aux alentours de 1,5 et j'obtiens cette fois b~= 1.42

Ca doit être bon maintenant, non ?