Zéro d'une fonction continue

[invite74d6d3ec]

Salut,

Je veux montrer que l'ensemble des zéros d'une fonction continue sur un segment est dénombrable, quand j'y pense, le résultat me parait évident, mais je bloque quand même sur la démo...

Si vous avez des pistes, je suis preneur.

Merci
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[invitec317278e]

Salut,

la fonction qui vaut sur [-1,0] et 0 sur [0,1] est continue, même non nulle, et pourtant, ses 0 ne sont pas dénombrables

[Tiky]

Ton énoncé est incomplet. La fonction nulle sur [0, 1] est continue...

[invitec317278e]

Quand tu auras trouvé un énoncé plus complet, tu arriveras plus facilement à le prouver, parce que tu disposeras d'une hypothèse supplémentaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74d6d3ec]

Re et merci de vos réponses,

Oui, vous avez raison, il y a un problème.
En fait le problème est venu comme ça:

Je dispose d'une fonction continue sur et vérifiant pour tout où est un certain ensemble de fonctions. (Sa définition ne nous intéresse pas)

J'ai déjà montrer que pour tout je peux construire une fonction qui est continue strictement positive sur et nulle ailleurs.

On nous demande de montrer que est nulle sur .

Moi je me suis dit que j'allais prendre les l'ensemble des zéros de sur et appliquer à tous couples de sorte que .

Et donc que est nulle sur et par suite sur .

Mais quand je revois ça, ça suppose que les zéros de F sont dénombrables...vous voyez mon problème.

Merci pour vos éclaircissements.

[invite03f2c9c5]

Indication : si F était non nulle en un point, par continuité, elle serait non nulle sur un petit voisinage de ce point (et y serait de signe constant).

[invite74d6d3ec]

Indication : si F était non nulle en un point, par continuité, elle serait non nulle sur un petit voisinage de ce point (et y serait de signe constant).

Vue comme ça, c'est immédiat. Merci

[invitec317278e]

Tu pouvais dire tout de suite que tu essayais le sujet des mines de cette année

[Tiky]

Si E contient les fonctions continues, c'est très facile comme ceci :
. Comme F est continue, g l'est aussi. Et tu as par hypothèse : . La fonction Fg est continue et positive. Tu sais alors que . Tu en déduis que f est nulle quand elle est positive. Tu procèdes de même pour la partie négative en prenant .

[invitec317278e]

Par malheur, ici, E contient des fonctions de classes supérieures à F, si je me souviens bien du sujet que j'ai lu

[Tiky]

Il serait peut-être bien de savoir ce que contient E

[inviteaf1870ed]

Est ce que g contient les fonctions x^n ?

[invite74d6d3ec]

Re,

Quand tu auras trouvé un énoncé plus complet, tu arriveras plus facilement à le prouver, parce que tu disposeras d'une hypothèse supplémentaire.

Je suppose que vous avez une hypothèse en tête, ça m'intéresse.

En fait, contient les fonctions de classes vérifiant .

[invite57a1e779]

Bonjour,
Puisque la fonction est continue sur , il existe une fonction élément de telle que : .

Une intégration par parties fournit:


On en déduit : d'où, par continuité de : , relation qui fournit, par dérivation : .

N.B. J'ai supposé les fonctions à valeurs réelles.

[invite986312212]

Je suppose que vous avez une hypothèse en tête, ça m'intéresse.

ce n'est pas le cardinal de l'ensemble des zéros qui compte, c'est sa densité éventuelle: si l'ensemble des zéros d'une fonction continue est dense dans un intervalle, la fonction est nulle sur cet intervalle.

[inviteaf1870ed]

En fait, contient les fonctions de classes vérifiant .

Donc E contient les polynômes X^p(1-X)^q avec p et q plus grand que 1. A vue de nez ils doivent former une base de l'espace des polynomes. On applique alors le théorème de Weierstrass qui dit qu'une fonction continue est limite d'une suite de polynômes. Donc f=limPn(X) avec Pn dans E.
Donc en appliquant l'hypothèse on arrive à Intégrale F² = 0 donc F=0.

[invitec317278e]

Re,



Je suppose que vous avez une hypothèse en tête, ça m'intéresse.

Et bien, tout simplement, si le résultat que tu cherchais a démontrer est faux,c 'est parce qu'il existe des fonctions nulles sur un intervalle. supposons donc que f ne soit nulle sur aucun intervalle ouvert non vide, ie quelque soit x point où f s'annule, il existe un intervalle non vide ]a,b[ contenant x tel que x soit le seul point de ]a,b[ où f s'annule. Alors, si on suppose ça les 0 de f me semblent être dénombrables. Mais c'est fort, comme hypothèse...

[invite57a1e779]

Je veux montrer que l'ensemble des zéros d'une fonction continue sur un segment est dénombrable

L'ensemble des zéros d'une fonction continue est un fermé ; ce fermé est contenu dans le segment, il est donc compact.

Réciproquement, si K est un compact contenu dans le segment, la fonction x -> d(x,K) est continue sur le segment, et K est l'ensemble de ses zéros.

Il existe des compacts non dénombrables, donc...