Analyse d'une fonction continue.

[invitedb2255b0]

Bonjour, j'ai un problème sur un exercice d'analyse sur les fonctions continue:

Soit f une fonction continue injective définie sur un intervalle I.
Soit a,b,x,y des éléments de I tels que a<b et x<y.
On considère la relation suivante:
Pour tout t de [0,1] g(t) = f((1-t)b+ty) - f((1-t)a+tx).

Le but est, semblerais t-il, de prouver que f est monotone, mais la première question est:
Montre que g est définie et continue.

Et la je bloque. Pour montrer que g est définie, il suffirais de montrer que (1-t)b+ty (resp. (1-t)a+tx) appartient à I quelque soit t, mais comment faire ?

J'ai commence par remarquer que g(0) = f(b)-f(a) et g(1) = f(y)-f(x) et donc que g(0) est bien définie et g(1) également, de plus g est continue en ces valeures.

L'information que nous apporte l'injectivité de f, c'est que si f prend des valeurs en et alors f est bornée par et (quant à savoir qui majore et qui minore, cela dépend de toute évidence, il faudrais fixer les idées en posant .)

Bref, même avec tout çà je n'arrive pas à écrire une ligne sur ma feuille, pouvez vous m'aider, me mettre sur la piste ? Je me heurte à trop de problèmes ... Peut-être aussi que je me complique la vie et que la réponse est bien plus simple qu'elle n'en à l'air, bref un indice svp .
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[Médiat]

Pour montrer que g est définie, il suffirais de montrer que (1-t)b+ty (resp. (1-t)a+tx) appartient à I quelque soit t, mais comment faire ?

Par exemple en montrant que (1-t)b+ty est compris entre b et y.

[invitedb2255b0]

Sauf que si on suppose 0<b et 0<y,
alors 0<t<1 entraine 0<1-t<1 entraine 0<(1-t)b<b
et également 0<ty<y et on ne peux conclure que que 0<(1-t)b+ty<b+y ce qui ne nous aide pas vraiment en outre.

[inviteaf1870ed]

(1-t)b+ty est le barycentre de b et de y affectés des coefficients (1-t) et t, donc est situé entre b et y, qu'ils soient positifs ou non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Tu peux aussi regarder la fonction de la variable t : f(t)=b+t(y-b). Elle est monotone, regarde ses valeurs en t=0 et t=1

[invitebe08d051]

Salut

Pour ta deuxième question, il suffit de raisonner par absurde puis utiliser le T.V.I.