DM de math Extremum d'une fonction

[invite04efc7a8]

f définie sur [0;+l'infinie[ par: f(x)=√x/(x+1)
On me demande de montrer que f(x) ≤ 1/(√x) pour tout x>0
Et d'en déduire que f(x) ≤ 10^-2.

Juste avant j'ai prouvé que f est dérivable sur ]0;+l'infinie[ et que pour tout réel x>0: f'(x)=(1-x)/(2√x(x+1)²) ainsi que: 0 ≤ √x ≤ (x+1)/2

Pour montrer que f(x) ≤ 1/(√x) pour tout x>0, j'ai calculer la différence entre 1/(√x) et f(x):
1/(√x) - f(x) = 1/(√x(x+1))
Est-ce qu'il faut que je développe pour dérivée ou non?
De plus je ne vois pas comment en déduire que f(x) ≤ 10^-2


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[zyket]

Pour montrer que f(x) ≤ 1/(√x) pour tout x>0, j'ai calculer la différence entre 1/(√x) et f(x):
1/(√x) - f(x) = 1/(√x(x+1))

Je ne crois pas que cela soit la bonne méthode. Tu as des rapports ne te lances pas dans des différences

Tu as f(x) ≤ 1/(√x) comme dans toute équation cherche à isoler l'inconnue. C'est à dire à mettre toutes les expressions contenant l'inconnue d'un côté de l'égalité et tout ce qui ne contient pas l'inconnue de l'autre. En appliquant cette méthode que devient f(x) ≤ 1/(√x) ,

[invite04efc7a8]

Mais en calculant avec cette inéquation, on ne peut trouver un ensemble de définition (je suppose).
Et puis en cours, on a utiliser le tableau de signe de la dérivée pour montrer qu'une fonction est inférieur
ou supérieur à une équation donnée. Donc je pensait reprendre le cours.

[zyket]

Je ne comprends pas bien pourquoi tu me parles d'ensemble de définition.

Quand on écrit

montrer que f(x) ≤ 1/(√x) pour tout x>0

, l'ensemble de définition est imposé c'est ]0;+oo[ puisqu'on précise

pour tout x>0

On n'a pas à chercher l'ensemble de définition

montrer que f(x) ≤ 1/(√x) pour tout x>0

pourrait se dire aussi d'une autre façon :

Quand x est strictement positif est-ce que f(x) est toujours inférieur ou égal à 1/(√x) ?

Ton travail consiste à répondre à cette question en expliquant pourquoi oui, si c'est oui, ou pourquoi non, si c'est non.

[A voir en vidéo sur Futura]