petit theorme de fermat+ gauss +congruences

[invited8e1c47f]

Bonjour, on nous demande de démontrer que 2^37 +3^37 -5 est divisible par 74 sans chercher le reste de 2^37 et de 3^37 enfin on peut mais uniquement a travers le théorème de Fermat...
J'ai démontre que( 2^36 )- 1 est divisible par 37 d’après Fermat or Pgcd (2;37) =1 donc 2((2^36)-1) divisible par 37*2 = 74 donc (2^37)-2 divisible par 74 i.e 2^37 congru a 2 modulo 74
Pour 5 c'est évident mais pour 3^37 je suis bloqué... Merci d'avance
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[invitee4135479]

salam:
d'après Fermat on a 2et 27 premiers entre eux d'ou 37/2^36 - 1. donc comme vous avez dit 2^37)-2 divisible par 74 ie: (2^37)-2=0[74].
on aussi de meme: 3^37 - 3=3(3^36 - 1) comme pgcd(3,37)=1 ==> 37/3^36 - 1 ==> 3^36 - 1 =0[37] ==>3(3^36 - 1)=0[37] <=> 3^37 - 3 =0[37] ==>3^37 - 3 =0[74]; ( car 37*2=74).
finalement on a:
(2^37)-2=0[74] et 3^37 - 3 =0[74] ==> 2^37 -2 + 3^37 -3 =0[74] d'ou 2^37 + 3^37 - 5 = 0 [74]. ie 74 divise 2^37 + 3^37 - 5.
tanmirt