exponentielle

[invite489d2c5c]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide .. Merci

On considère l'équation (E) e^2x - 2e^x = 12

On souhaite déterminer le nombre de solutions de cette équation.

Méthode 1 = La fonction f est la fonction défini sur R par f(x) = e^2x - 2e^x
a Dresser le tableau de variation complet de la fonction f sur R, en justifiant soigneusement les résultats.

b En déduire le nombre de solutions de (E)

Méthode 2 =
a Réecrire l'équation (E) en utilisant une inconnue auxilliaire X.
b Résoudre cette nouvelle équation
c Résoudre l'équation (E)

Voilà . Je n'arrive à rien .. Merci
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[invite8ab5fa54]

Méthode 2 : essaies de poser X = e^x
Rappel : (e^x)² = e^2x

[invite489d2c5c]

a- On pose e^x =X
Donc (E) X²-2X

b- Delta =4 donc 2 solutions réelles disctinctes.
X1 = 2 et X2= 0

[danyvio]

a- On pose e^x =X
Donc (E) X²-2X

b- Delta =4 donc 2 solutions réelles disctinctes.
X1 = 2 et X2= 0

Attention s'il s'agit de résoudre (E) e^2x - 2e^x = 12 soit e^2x - 2e^x -12 = 0, on a delta=52

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489d2c5c]

Effectivement, donc je dois dresser le tableau de variation, calculer les limites pour le remplir, voir quand sa passe par 12, et citer le théoréme de bijection ?

[invite489d2c5c]

En fait je suis perdue ..

[invite489d2c5c]

Quelqu'un s'il vous plait ?

[zyket]

Comment résouts-tu X²-2X-12=0 ? qui, en posant X=e^x, correspond à ton équation e^2x - 2e^x -12 = 0 .

X²-2X-12=0 est une équation du second degré dans l'ensemble des réels, donc l'existence des solutions de cette équation dépendent de son discriminant.

[zyket]

Ce que je te propose ci-dessus c'est pour la méthode 2 de ton énoncé.

Pour la méthode 1, on te propose d'étudier les variations de la fonction f(x) = e^2x - 2e^x
L'étude d'une fonction consiste à :
-déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de cette fonction
-déterminer ses sens de variation (croissante, décroissante) sur différents intervalles. Généralement on se sert du signe de la dérivée pour connaître les sens de variations et les intervalles correspondants.
- on calcule les valeurs de x et de f(x) pour lesquels la fonction f change de sens de variation.

On dresse le tableau de variation grâce à tout ce qu'on a trouvé précédemment.

On peut se servir du théorème des valeurs intermédiaires pour conclure quand à l'existence ou non de solutions à une équation du type f(x)=a, a étant un réel donné.

Cela éclaire-t-il ta lanterne ?

[invite489d2c5c]

Oui, merci , mais je n'arrive pas a calculer les limites en plus ou moins l'infini ..

[zyket]

En factorisant f(x) par e^x, on lève les formes indéterminées. f(x)=(e^x)(..?....)

[invite489d2c5c]

f(x)=(e^x)(e^x-2)

[zyket]

et quels sont les résultats de :


et


d'où



de même quels sont les résultats de :


et


d'où

[invite489d2c5c]

En + l'infini = + l'infini et en - l'infini = 0 ?

[zyket]

Peut-être, qui que quoi

En + l'infini = + l'infini et en - l'infini = 0

???

[invite489d2c5c]

Et f'(x)=-2e^x + 2e^2x

Comment je fais le signe de sa ?

[zyket]

Pour chercher le signe d'une expression, une première étape est souvent de voir si on ne peut pas factoriser cette expression, car le signe d'un produit est fonction du signe des facteurs de ce produit.

Que donne la factorisation de f '(x) ?

[invite489d2c5c]

Pour la deuxiéme méthode, donc delta pour X²-2X-12 , delta = 52
2solutions, X1 = 1-V13 et X2 = 1+V13
Et la j'ai un problème au niveau du tableau, car le tableau de signe donne +/-/+
et les variations quand je calcule avec 1+V13 et 1-V13 je trouve 0 pour les 2 !

[invite489d2c5c]

la factorisation de f'(x) = 2e^x(e^x -1)

[zyket]

très bien,

qu'en est-il du signe de 2e^x en fonction de x ?
qu'en est-il du signe de (e^x -1) en fonction de x ?

Si je peux me permettre, toutes ces questions ce devrait-être toi qui te les poses. Tu pourrais ainsi avancer de manière un peu plus autonome

Comment vas-tu organiser les réponses aux questions précédentes ?

[invite489d2c5c]

Oui j'ai déjà dresser le tableau de signe et variation, étant donné qu'une exponentielle est toujours croissante le signe de 2e^x est positif et de même pour (e^x-1) ainsi la fonction est croissante .

[invite489d2c5c]

Puis je dire pour la 2ieme méthode, que X1 soit 1-V13 est impossible car X est toujours positif ?

[zyket]

petite erreur (ou grosse erreur, je ne sais pas) de raissonement :

étant donné qu'une exponentielle est toujours croissante le signe de 2e^x est positif

Ce n'est pas parce que exponentielle est toujours croissante qu'elle est toujours positive. Le sens de variation et le signe d'une fonction ne sont pas liés.

Par exemple la fonction g telle que g(x)=-1/x est une fonction croissante sur l'ensemble des réels privé de 0. Mais g(x) n'est pas systématiquement toujours positif. (g(x)>0 pour x élément de ]- OO ; 0[ et g(x)<0 pour x élément de ]0; + OO[

Ce qui est lié quand on étudie une fonction c'est le sens de variation de cette fonction et le signe de la dérivée de cette fonction.

Donc revenons à notre exo
2e^x>0 pour tout réel x, car on sait que e^x>0 pour tout réel x (la croissance de la fonction exponentielle n'a rien à voir avec son signe)

Je repose ma question
qu'en est-il du signe de (e^x -1) en fonction de x ? (e^x -1) est-il un nombre toujours positif quelque soit x ? le signe de (e^x -1) dépend-il des valeurs de x ?

[zyket]

Autre erreur

étant donné qu'une exponentielle est toujours croissante

Une fonction exponentielle n'est pas toujours croissante par exemple la fonction h telle que h(x)=e^(-x), est une fonction exponentielle. La fonction h est strictement décroissante sur l'ensemble des réels. Et preuve que la croissance ou la décroissance d'une fonction n'a rien à voir avec son signe, h(x)>0 pour tout réels x (bien que h soit décroissante).

[invite489d2c5c]

Excusez moi je voulais dire positif.

[zyket]

Je rerepose ma question
qu'en est-il du signe de (e^x -1) en fonction de x ? (e^x -1) est-il un nombre toujours positif quelque soit x ? le signe de (e^x -1) dépend-il des valeurs de x ?

[invite489d2c5c]

Et bien positif. Fin cela dépend de la valeur de x. Genre pour x=1 ce n'est pas le cas .

[zyket]

????

calcul à la calculatrice

pour x=-1 ; ((e^x)-1)=...

pour x=0 ; ((e^x)-1)=...

pour x=1 ; ((e^x)-1)=...

[invite489d2c5c]

pour x=-1 ; ((e^x)-1)=-0.63
pour x=0 ; ((e^x)-1)=0

pour x=1 ; ((e^x)-1)=1.72

[zyket]

Donc est-ce que (e^x -1) est toujours positif ou dépend-il de x ?