Vecteurs coplanaires.

[invite489d2c5c]

Bonjour, besoin de votre aide, j'ai eu ce DM, et on devais voir le cours hier et aujourd'hui, mais étant malade je ne comprends pas du tout .. Merci de votre aide ..

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. I et J sont les milieux respectifs des côtés [BF] et [DH] . Le but est de démontrer que les vecteurs IJ, DC et FC sont non coplanaires.

I- a Rappeler la définition de trois vecteurs coplanaires.
= Soient u,v et w trois vecteurs de l'espace. Ces trois vecteurs sont coplanaires si, et seulement si il existe quatre points A,B,C et D coplanaires tels que u=AB,v=AC et w=AD ( tous vecteurs)
b- Effectuer la démonstration à l'aide de la définition. Là je ne sais que faire ..

II- Justifier que (A,AB(vec),AD(vec),AE(vec)) constitue un repère d'espace.
b- Déterminer les coordonnées des vecteurs IJ,DC et FC dans ce repère.
c- Montrer que les vecteurs DC et FC ne sont pas colinéaires.
d- En utilisant les coordonnées, montrer que les vecteurs IJ, DC et FC sont non coplanaires.

Les parties I et II aboutissent au même résultat. Ce sont juste deux méthodes différentes de montrer que les vecteurs IJ, DC et FC sont non coplanaires, elles sont donc a traiter indépendamment .

Merci !
-----

[invite489d2c5c]

La figure est comme celle ci = première figure.
http://www.hexomaths.fr/fichiers/Geo...OSCORRIGES.pdf

[invite489d2c5c]

Quelqu'un s'il vous plait ?

[invite489d2c5c]

S'il vous plait quelqu'un , je n'y arrive vraiment pas ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Bonjour,

Pour Ib essaie de déplacer parallèlement les vecteurs vers un point commun, ainsi le cas précédent sera applicable.

Pour II le repère est orthogonal, tu pourrais prendre les cotés comme vecteurs unitaires et écrire les coordonnées par rapport à ces unités.

Evite de te répondre à toi même, cela fait apparaitre ton fil comme ayant eu des réponses suffisantes.

[invite489d2c5c]

Ib Oui mais comment en faire une démonstration ?

II. Vecteurs unitaires ? Qu'est-ce donc ?

[zyket]

Un essai d'explication de ce que sont des vecteurs unitaires :

Dans un espace à trois dimensions si on décide que les vecteurs vecteurU , vecteurV et vecteurK, trois vecteurs non colinéaires deux à deux , sont unitaires cela veut dire que l'on pourra exprimer n'importe quel vecteur de cet espace comme la somme de ces trois vecteurs unitaires auxquels ont aura appliqué de bons coefficients.

En termes mathématiques on dit que si vecteurU , vecteurV et vecteurK sont des vecteurs unitaires de l'espace, alors pour n'importe quel vecteurW de l'espace, il existe un triplet de réels (a;b;c) tels que vecteurW=a.vecteurU + b.vecteurV + c.vecteurK

On dit que (a;b;c) sont les coordonnées du vecteurW dans le repère de vecteurs unitaires (vecteurU , vecteurV , vecteurK).

Tout ceci à valider par un modérateur.

[invite489d2c5c]

Je n'ai pas tout tout compris, mais rien que dans la question je bloque déjà qu'est ce qu'un repère d'espace ?

[invite489d2c5c]

Quelqu'un ? Je n'ai pas du tout reussi la partie II

[phys4]

II- Justifier que (A,AB(vec),AD(vec),AE(vec)) constitue un repère d'espace.
b- Déterminer les coordonnées des vecteurs IJ,DC et FC dans ce repère.
c- Montrer que les vecteurs DC et FC ne sont pas colinéaires.
d- En utilisant les coordonnées, montrer que les vecteurs IJ, DC et FC sont non coplanaires.

Après avoir vu que les trois vecteurs de base proposée sont trois vecteurs perpendiculaires de la figure, vous pouvez écrire les vecteurs demandés dans la base
AB,AD,AE
Modifier chaque vecteur en mettant des points intermédiaires :
DC = DA + AB + BC = - AD + AB + AD = AB
FC = FE + EA + AD + DC = - AB - AE + AD + AB = AD - AE
IJ = JF + FE + EJ = BF/2 + FE + EH/2 = AE/2 -AB + AD/2

DC et FC ont des coordonnées dans des vecteurs de base différents, alors que s'ils étaient colinéaires, leurs coordonnées devraient être proportionnelles.
Les 3 ne sont pas coplanaires car il faudrait que l'un soit une combinaison linéaire des deux autres.

[sammy93]

Bonjour.
PARTIE 1.
Tu as et .Voilà ,on a
"ramené" les trois vecteurs à une origine commune D.Maintenant ,est-ce que tu peux dire que les points D,B,E,C
sont dans le meme plan( coplanaires).

[shokin]

Tu peux aussi démontrer avec les propriétés du vecteur normal à un ensemble de plans parallèles entre eux (dans l'espace à trois dimensions). Rappel : le vecteur normal à un plan est perpendiculaire à tout vecteur directeur de ce plan. Donc à se rappeler :

(1) - le produit scalaire entre le vecteur normal à un plan et un vecteur directeur de ce même plan est nul,
(2) - le produit vectoriel entre deux vecteurs directeurs (non colinéaires entre eux) d'un plan est un vecteur colinéaire aux vecteurs normaux à ce même plan.

Dans ton problème, "en plus", le parallélipipède rectangle. Donc une arête partant d'un sommet sera "normale" au plan défini par les deux autres arêtes partant du même sommet.

Dans l'espace à trois dimensions (vecteurs à trois composantes), trois vecteurs sont coplanaires quand l'un deux est linéairement dépendant des deux autres (ou quand leur matrice a un déterminant nul, cf. algèbre linéaire > déterminant d'une matrice). Il va donc s'agir de montrer que parmi les vecteurs IJ, DC et FC, l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Comme l'a dit sammy93, peu importe où se poste un vecteur, il reste le même. On peut donc prendre les vecteur DB, DE et DC.

b- Effectuer la démonstration à l'aide de la définition. Là je ne sais que faire ..

Parmi les informations que tu as, tu as celle selon laquelle il s'agit d'un parallélipipède rectangle. Donc A, B, C et D sont dans les sommets d'une même face (donc coplanaires). Remarque que : cela est valable même pour un parallélipipède non rectangle (même si ABCD est un parallélogramme non rectangle). AB + AD = AC. Donc AB, AC et AD sont coplanaires.

Justifier que (A,AB(vec),AD(vec),AE(vec)) constitue un repère d'espace.

AB, AD et AE forment un repère d'espace parce que tu sais qu'il s'agit d'un parallélipipède rectangle. Les arêtes ont une longueur strictement positive. Par définition, trois arêtes d'un parallélipipède rectangle partant d'un même sommet sont orthogonales deux à deux. Donc chacune est le produit vectoriel des deux autres. [Et la matrice de ces trois vecteurs aura un déterminant non nul.]

Montrer que les vecteurs DC et FC ne sont pas colinéaires.

FC est linéairement dépendant de la base BC et GC (FC = GC + BC). Puisque :

- FC est linéairement dépendant de BC et GC, et,
- GC est orthogonal à DC (par définition du parallélipipède rectangle),
- BC est orthogonal à DC (par définition du parallélipipède rectangle),

alors FC est aussi orthogonal à DC (par définition du parallélipipède rectangle). Donc pas colinéaire.

En utilisant les coordonnées, montrer que les vecteurs IJ, DC et FC sont non coplanaires.

Ou respectivement les vecteurs DB, DC et ED.

Or chacun de ces trois vecteurs peut être exprimés à partir de la base orthonormée (DA, DC, DH).

DB = 1*DA + 1*DC + 0*DH
DC = 0*DA + 1*DC + 0*DH
ED = (-1)*DA + 0*DC + (-1)*DH

Et le discriminant de la matrice {(1 ; 1 ; 0);(0 ; 1 ; 0);(-1) ; 0 (-1)} n'est pas nul ! Donc ces trois vecteurs forment une base dans l'espace à trois dimensions, et ne sont pas coplanaires.