Complexe, vecteur.

[invite489d2c5c]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u ;v ). L’unité graphique est
2 cm.

On réalisera une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.
1)Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z-4/z = i.

2)Résoudre dans C l’équation z² – 2z + 4 = 0. Ecrire les solutions sous forme exponentielle.

3)Soit A, B, A’ et D les points du plan complexe d’affixes respectives :
a = 2, b = 4, a’ = 2i et d = 2 + 2i . Quelle est la nature du triangle ODB ?

4)Soient E et F les points d’affixes respectives e = 1 – i V3 et f = 1 + iV3 .V3 = racine de 3

5) Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 2. Soit (C’) le cercle de centre A’ et de rayon 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle Pi/2 .
a) On désigne par E’ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e’ du point E’.
b) Démontrer que le point E’ est un point du cercle (C’).
c) Vérifier que : e – d = ( V3 + 2)( e’ – d). En déduire que les points E, E’ et D sont alignés.

6)Soit D’ l’image du point D par la rotation r. Que peut on dire des droites (E'D') et (ED) ?En déduire que la nature du triangle EE’D’ .

Alors je suis arrivée a la question 6, je n'arrive pas le ( Que peut on dire des droite ( E'D') et (ED) ) ..

Merci de votre aide .
-----

[zyket]

Bonjour,

rien qu'à la lecture de l'énoncé à la question 6) On peut peut-être avoir une idée.

Que peut-on dire des droites ......

Réponses possibles :
- les droites sont parallèles
- les droites sont confondues
- les droites sont sécantes
- les droites sont perpendiculaires

La figure que tu as tracée te suggère quelle réponse ?

En déduire la nature du triangle EE'D .

Un rectangle peut-être isocèle, équilatéral, rectangle.
Moi je parie qu'il doit être rectangle. Si c'était le cas que faudrait-il calculer ?

[invite489d2c5c]

Oui , les droites sont perpendiculaires, mais comment le justifier, pour ensuite en déduire que le triangle est rectangle en E' ?

[zyket]

As-tu déjà vu le produit scalaire de deux vecteurs ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite489d2c5c]

Je devais le voir aujourd'hui en cours , mais étant malade je n'ai pas pu y aller.
Mais ne faut t'il pas que le produit des 2 vecteurs soit nul ?

[invite489d2c5c]

Il faut que je calcule D' alors ?

[zyket]

En effet le produit scalaire de deux vecteurs (non nuls) est nul si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux.

Sais-tu calculer le produit scalaire de deux vecteurs d'après leur coordonnées ?

(Attention je n'ai pas fait l'exo, je t'entraine peut-être dans une piste un peu longue, il peut y avoir plus rapide)

[invite489d2c5c]

Oui Z E'D' Mais je n'arrive pas a calculer D'..

[zyket]

Ben si tu as pu calculer e' l'affixe de E' grâce à la rotation r, pourquoi n'arriverais-tu pas à calculer d', l'affixe de D' grâce à la rotation r puisque D' est l'image de D par r ?

[invite489d2c5c]

Et bien je n'ai pas l'angle ici ..

[zyket]

Si tu as un angle.

Quand on dit que D' est l'image de D par la rotation r, en sachant que r est la rotation de centre O et d'angle Pi/2, cela veut dire que angle(vecteurOD , vecteuOD')=Pi/2 (et aussi que norme vecteurOD= norme vecteurOD').

Mais ici tu dois utiliser la formule qui permet de trouver l'affixe d' du point D' image, par la rotation r, du point D d'affixe d.

C'est une formule du type d'=quelque chose en fonction de d

Comment as-tu fait pour calculer e' ? Normalement c'est le même principe pour calculer d'.

Remarque : je viens de finir l'exo, on n'a pas besoin de passer par les produits scalaires pour prouver que EE'D est rectangle, Pythagore suffit largement.

[invite489d2c5c]

Et bien grâce a a z' = e ^i Pi/2 (z-0) = iz
donc e' = ie = i + racine 3

[zyket]

Je raconte n'importe quoi pour la dernière question (Ce n'est pas faux mais ce n'est pas ce qu'on nous demande)

On nous demande de prouver que (ED) et (E'D) sont perpendiculaires, en utilisant sûrement la rotation d'angle Pi/2.

Est-on sensé savoir que l'image d'un vecteurAB par une rotation d'angle alpha est un autre vecteurA'B' tel que angle(vecteurAB ; vecteurA'B')=alpha ?
Si oui la démonstration de la perpendicularité entre (ED) et (E'D) devient évidente.

[zyket]

z' = e ^i Pi/2 (z-0) = iz
donc e' = ie = i + racine 3

applique la même formule pour calculer d' l'image de d par la rotation r

[invite489d2c5c]

Je n'y arrive pas.

[zyket]

????

Je ne comprends pas bien ce qui te bloque.

Quand on écrit que si le nombre complexe z' est l'image du nombre complexe z par la rotation r, de centre ayant pour affixe le nombre complexe w et d'angle têta, alors on a l'égalité

Cette égalité est valable pour n'importe quelle image, par la rotation r, de n'importe quel nombre complexe.

Par exemple si le nombre complexe h' est l'image du nombre complexe h par la rotation r, alors on a : (h'-w)=(e^(i . têta))(h-w)

Autre exemple : si le nombre complexe u est l'image du nombre complexe s par la rotation r, alors on a : (u-w)=(e^(i . têta))(s-w)

Dans le cas qui nous intéresse l'énoncé revient à dire que le nombre complexe d' est l'image du nombre complexe d par la rotation r, de centre O d'affixe 0 (lire zéro) et d'angle Pi/2. Comment écrirais-tu l'égalité que je t'ai donnée au dessus avec d' , d , 0 et Pi/2 ? (tu l'as fais pour e', je ne comprends pas pourquoi tu n'arrives pas à le faire pour d' ??)

[invite489d2c5c]

(d'-0)=(e^i pi/2)(d-0) ?

[zyket]

Et maintenant qu'est-ce que cela donne en continuant les calculs.

[invite489d2c5c]

d'= (e^i pi/2) ( 2+ 2i )

[zyket]

Or comme (e^i pi/2) =.... (écriture sous forme algébrique)
d'où d'= ....( 2+ 2i ) =......

[invite489d2c5c]

Je ne sais pas ce qu'est son ecriture algébrique

[invite489d2c5c]

e^i pi/2 = i non ? donc d' = i(2+2i)

[zyket]

c'est ça

continue en développant d' = i(2+2i) d'où d'= a + ib avec a=? et b=?

[invite489d2c5c]

d'= 2i-2 avec a =2 et b=2

[zyket]

Attention d'= 2i-2 est le résultat juste, mais si je pose d'= a + ib alors a =2 et b=2 est une réponse fausse !!!

Dans le nombre complexe d'= 2i-2 où est sa partie réelle ? où est sa partie imaginaire ? On a donc plutôt intérêt à écrire d'=(sa partie réelle) + i fois (sa partie imaginaire)

[invite489d2c5c]

a oui ! a = -2

[zyket]

donc comme on écrit plutôt la partie réel en premier d'=-2+2i

Tu peux donc placer D' le point d'affixe d' sur ta figure

[invite489d2c5c]

Ainsi les droites (E'D') et (ED) sont colinaires, mais comment je justifie, que le triangle est rectangle ?

[zyket]

Ainsi les droites (E'D') et (ED) sont colinaires

tu fatigues : des droites ne peuvent pas être colinéaires ce sont des vecteurs qui peuvent être colinéaires.

Dans un plan, deux droites peuvent être : sécantes (et quand elles sont sécantes parfois elles sont perpendiculaires) ou parallèles (voir confondues)

[invite489d2c5c]

Effectivement, désolé ! Donc les droites sont sécantes.