Opérations sur modules (complexes) term s

[invite636fb08b]

Bonsoir, j'ai regardé la correction de cet exercice, et ne l'ai pas compris:

On a z1= -1+3 i; z2= 4-i
Il faut effectuer les opérations suivantes : z1/z2 , z1+2/z2-i, 1/z1 + 1/z2 et enfin 1/z1²+1/z2².
J'ai fait et compris les deux premières opérations. Les 2 dernières me posent problème.

Voici la correction de la dernière opération qui n'est pas très détaillée:
1/z1² + 1/z2² = 1/(-1+3)² + 1/(4-i)² = 1/-8-6i + 1/15-8i
= -8+6i/100 + 15+8i/289 ----> ??? je ne voit pas comment on arrive à cette ligne!
....ect je comprends la suite.

Merci d'avance.
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[danyvio]

Pour la fraction 1/(-8-6i) on multiplie le numérateur et le dénominateur par (-8+61) qui est le conjugué du dénominateur (opération autorisée car le dénominateur # 0)
donc : on obtient (-8+6i)/(+8-6i).(-8+6i) soit -8+6i/(64+36)=(-8+6i)/100 CQFD

La technique consistant à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (voire du numérateur) est fréquente

[invite636fb08b]

Merci, comment s'appelle cette technique ? Je ne m'en rappelle que vaguement dans mon cours sur les complexes...

[invitee4135479]

Merci, comment s'appelle cette technique ? Je ne m'en rappelle que vaguement dans mon cours sur les complexes...

on multiplie le numérateur et le dénominateurs par le conjugué du dénominateur

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pourquoi tu cherches un nom ?
c'est un peu l'équivalent dans !R à l'identification d'identités remarquables.
ça permet de simplifier, et tout le monde sait que le matheux est feignant !!

[invite636fb08b]

Merci, cet astuce du conjugué est valable pour toutes les opérations sur les complexes ?

[zyket]

Bonjour,

l'astuce ne repose pas à proprement parler sur ''des opérations sur les complexes'', elle repose sur la multiplication d'un nombre complexe par son conjugué.

On se sert généralement de cette astuce lorsqu'un nombre complexe est exprimé sous forme d'une fraction dont le dénominateur se trouve sous forme de nombre complexe avec une partie imaginaire non nulle.

Par exemple le nombre complexe

w=1/(5-3i)

a une partie réelle et une partie imaginaire que l'on ne voit pas au premier coup d'oeil (ce n'est pas 5 et -3). On sait que tout nombre complexe peut s'écrire sous une forme algébrique, on sait donc que notre nombre complexe w peut s'écrire

w=a+ib

, avec a et b réels. "a" est la partie réelle de w et "b" est sa partie imaginaire. Notre problème ici serait de trouver que vaut sa partie réelle "a" et que vaut sa partie imaginaire "b". Pour cela on fait "disparaître" le dénominateur complexe en multipliant "en haut et en bas" de la fraction par un même nombre : le nombre complexe conjugué du dénominateur. Ici notre dénominateur vaut (5-3i) son nombre complexe conjugué est (5+3i).

On peut donc écrire que

w=(1/(5-3i))*(5+3i)/(5+3i)=(5+3i)/((5-3i)*(5+3i))=(5+3i)/(5²-(3i)²)=(5+3i)/(25+9)

d'où w=5/34 + i*3/34 , w a donc pour partie réelle 5/34 et pour partie imaginaire 3/34

Une propriété des complexes est que tout nombre complexe multiplié par son conjugué donne un nombre réel. En termes mathématique cela se dit pour tout z élément de C (ensemble des complexes), z*z(barre) est élément de R (ensemble) des réels

En effet si z=a+ib alors son conjugué) z(barre)=a-ib, d'où z*z(barre)=(a+ib)*(a-ib)=a²+b²

Et on a même un résultat plus précis c'est que on sait que a²+b²= carré du module de z

d'où z*z(barre)= |z|²