suites arithmetiques et geometriques
Bonjour,
demain, c'st mon examen de mathematiques..
je suis en premiere S, et je dois apprendre le chapitre sur les suites arithmetiques et geometriques !
si quelqu'un pouvait m'expliquer les formules reccurentes, explicites ( pr les 2 suites ) et comment demontrer que la suite et geometrique ou arithmetique, ce serait vraiment, gentil , parce que la, je ne comprend vraiment pas du tout .. ( heeeeelp please )
merci d'avance,
lola2196
bonjour,
voici un peut d'informations qui sont très utiles sur les suites arithmétiques.
Définition
On dit qu'une suite (u_n)_(n in N) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que :
pour tout n in N, u_(n+1)=u_n + r
Le réel r s'appelle la raison de la suite arithmétique.
Exemple
Soit la suite (u_n)_(n in N) définie par u_n=3n+5.
u_(n+1)-u_n=3(n+1)+5-(3n+5)=3
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite (u_n) est arithmétique de raison r alors on a u_n=u_k+(n-k)*r.
En particulier u_n=u_0+n*r. ou u0 est le 1ere terme de la suite.
Théorème
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r :
si r>0 alors (u_n) est strictement croissante
si r=0 alors (u_n) est constante
si r<0 alors (u_n) est strictement décroissante.
Théorème
Si (u_n) et (v_n) sont deux suites arithmétiques de raison respectives r et r' alors la somme de ces deux suites, c'est à dire la suite (w_n) définie par :
w_n=u_n+v_n
est aussi une suite arithmétique et sa raison r'' est :
r''=r+r'
Théorème
Somme des premiers termes
Si (u_n)_(n in NN) est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r :
S_n=u_0+u_1+. . .+u_n=(n+1)(u_0+u_n)/2
Exemple
Soit à calculer la somme S=1+2+. . .+n.
S est la somme des n premiers termes de la suite 1, 2, 3 ... qui est arithmétique de raison 1.
Le nombre de terme est n, le premier terme est 1 et le dernier terme n, donc
S=n*(1+n)/2=(n(n+1))/2
Bonjour
sinon reprends la définition d'une suite... pour simplifier, c'est un peu comme une fonction mais qui est définie sur N et non pas R.
Pour tout n tu as une valeur associée Un.
Les suites arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers :
- une suite arithmétique peut se définir de deux manières :
Un=U0 + n*r, on appelle r la raison, ce qui permet une deuxième façon définir Un de manière récursive :
U(n+1)=Un+r
en effet U(n+1)=U0 +(n+1)*r = U0+n*r +r= Un+r
- une suite géométrique ce n'est plus une addition mais une multiplication:
Un=U0*q^n (q est la raison) essaye d'exprimer U(n+1) en fonction de Un pour trouver la formule récursive, pour ça tu fais comme pour l'arithmétique, tu écris U(n+1) et fais apparaître Un dans l'expression.
Pour savoir si une suite est arithmétique, fais la différence de deux termes consécutifs :
Si la suite est vraiment arithmétique, alors U(n+1)-Un= Un+r-Un=r or r est une constante, ce qui veut dire que deux termes consécutif ont toujours le même écart. Donc fais ta différence de deux termes consécutifs, et vois si tu obtiens un résultat qui dépend de n ou non. Si ce n'est pas le cas, c'est que ta suite et arithmétique et le résultat que tu as trouvé est donc la raison de cette suite.
Pareil pour les suites géométriques, sauf que tu calcules U(n+1)/Un. Si tu trouves une constante, ta suite est géométrique et cette constante est la raison de la suite !
Suite géométrique.
Définition
On dit qu'une suite (u_n)_(n in N) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q tel que :
pour tout n in N, u_(n+1)=q * u_n
Le réel q s'appelle la raison de la suite géométrique (u_n).
Remarque
Pour démontrer qu'une suite (u_n)_(n in N) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport (u_(n+1))/(u_n).
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.
Exemple
Soit la suite (u_n)_(n in N) définie par u_n=3/(2^n).
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
(u_(n+1))/(u_n)=3/(2^(n+1))*(2^n)/3=(2^n)/(2^(n+1))=(2^n)/(2*2^n)=1/2
La suite (u_n) est une suite géométrique de raison 1/2
Propriété
Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite (u_n) est géométrique de raison q :u_n=u_k*q^(n-k).
En particulier u_n=u_0*q^n.
Théorème
Soit (u_n) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :
Si q >1, la suite (u_n) est strictement croissante
Si 0 < q <1, la suite (u_n) est strictement décroissante
Si q =1, la suite (u_n) est constante
Théorème
Si (u_n) et (v_n) sont deux suites géométriques de raison respectives q et q' alors le produit (w_n) de ces deux suites défini par :
w_n=u_n*v_n
est une suite géométrique de raison q''=q*q'
Théorème
Somme des premiers termes
Si (u_n)_(n in N) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q=!=1 : (=!= est le symbole "différent")
S_n=u_0+u_1+. . .+u_n=u_0*(1-q^(n+1))/(1-q)
Remarque
Cette formule peut se généraliser à des sommes ne commençant pas par u_0 et peut se retenir sous l'une des deux formes suivantes:
S_n=`premier terme` * (1-q^(`nombre de termes`))/(1-q)
ou
S_n=(`premier terme`-`terme suivant le dernier terme`)/(1-q)
Cette dernière formule est très pratique pour éviter de calculer le nombre de termes de la somme (voir exemple ci-dessous).
Cette formule n'est pas valable pour q=1. Mais dans ce cas (u_n) est une suite constante donc:
S_n=u_0+u_0+ . . . +u_0 = (n+1)*u_0
Exemple
Soit à calculer la somme S=4+8+16. . .+2^n pour n>2
S est la somme des premiers termes de la suite 4, 8, 16 ... qui est géométrique de raison 2.
Le premier terme est 4 et le dernier terme 2^n, le terme suivant serait 2^(n+1), donc:
S=(4-2^(n+1))/(1-2)=2^(n+1)-4
