Exercice de Maths Spé

[invitec0322d36]

Bonjour à tous! J'ai des difficultés avec un exercice de spé sur la cryptographie...

On note E l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et 28. A chacun de ces entiers on associe une lettre de l'alphabet ou un autre symbole (A avec 0, B avec 1, ..., Z avec 25, alpha avec 26, beta avec 27 et gamma avec 28). Puis on fait subir à chacun de ces entiers x la tranformation f telle que xy avec y le reste dans la Division Euclidienne de x^3 par 29.

A. Coder "M E R".
Je trouve "R G M".

B. Sachant que 3*19 - 28*2 = 1, montrer que 3 et 28 sont premiers entre eux.
J'ai utilisé le théorème de Bezout.

C. Montrer que si f(x) = f(x'), alors x = x' et en déduire que deux éléments de E distincts ont deux images différentes par f.
J'ai essayé de faire une égalité mais je me perds.

D. Soient x et y deux éléments de E tels que y x3 (29). Montrer que y19 x (29).
J'ai essayé d'utiliser la relation du B. mais je tombe sur y^19 congru à (x^(28*2))*x(29)

E. Décoder alors le mot "T W T I G".
Je trouve INDICE

Voilà, c'est ce que j'ai pu trouver... Vous n'auriez pas quelques pistes ?
Merci beaucoup pour votre aide
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[Elessog]

tu veux dire f(x)=y par (xy) ???

[invitec0322d36]

En fait on affecte au chiffre x choisit si c'est la lettre A x=0 avec l'application on a x^3=0 la division euclidienne par 29 donne 0 comme reste.

[Elessog]

la A et B ont l'air juste pour la C si tu suppose f(x)=f(x') alors x^3 congrue x'^3
et x et x' sont deux éléments de E y a surement un truc avec

La D je ne comprends pas les relations entre y et x

Pour la E tu trouve un mot de 6 lettres alors qu'aux départ il n'y en a que 5

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elessog]

Pour la D on a X^(28*2)=X²^28 or X^2 n'est pas divisible par 29 qui est premier (il faut distinguer le cas trivial x=0)

[invitec0322d36]

Pardon quelques imprécisions,

Pour la D: Soit x et y deux éléments distincts de l'ensemble, tel que y congru à x^3(29). Montrer y^19 congru à x(29)
Et la E: Décoder le mot T W beta T I G