Problème devoir sur la fonction ln

[invite793e45a2]

Bonjour ! J'ai un devoir a rendre pour la semaine prochaine mais je bloque dès la 2e question.
Voici l'énoncé et les réponses que j'ai trouvé pour le moment :

On considère la fonction f(x)= ln (1+e^-x) + (1/3)x et C sa courbe représentative

1.a. Déterminer la limite de f en +oo (+ l'infini) et montrer que la droite (D) d'équation y= (1/3)x est asymptote à C.

b. Etudier les positions relatives de (D) et C

c. Montrer que pour tout réel x, f(x)= ln (e^x +1) - (2/3)x. En déduire la limite de f en -oo.

2. On cherche a mettre en évidence une propriété de C. Avec T la tangente a la courbe C au point d'abscisse 0.
a. Calculer le coefficient directeur de T.
b. Soient M et N deux points de la courbe C d'abscisses non nulles et opposées, montrer que la droite (MN) est parallèle a T.

Mes résultats:

1.a. lim (1/3)x = +oo
Soit g(x) = uov, avec u= ln (x) et v= 1 + e^-x

lim (x->+oo) ln(x)=+oo
lim (x->+oo) (1+e^-x) => lim 1=1 et lim (x->+oo) e^-x= 0

Donc lim (x->+oo) ln(1+e^-x)=+oo
Donc par addition, lim (x->+oo) f(x)= +oo

Pour l'asymptote: lim (x->+oo) f(x)- (1/3)x = lim (x->+oo) ln(1+e^-x)

=> lim ln(1)= 0 et lim ln (e^-x) = 0
Donc lim (x->+oo) ln (1+e^-x) = 0
Donc y= (1/3)x est bien asymptote a la courbe C.

Pour la question 1.b. je sais que je dois utiliser f(x) - y mais je n'y arrive pas..

c. Je ne sais pas si la méthode que j'utilise est correcte:

ln (e^x + 1) - (2/3)x = ln (1+e^-x) + (1/3)x
=> ln (e^x + 1) - ln (1 + e^-x) - (2/3)x - (1/3)x
=> ln(1) * (ln(e^x + e^-x)) - 1

Mais je n'arrive pas à aller plus loin :/

Je sais que pour la limite je dois trouver lim (x-> -oo) ln(e^x + 1) - (2/3)x = -oo

et pour toute la question 2 je ne vois pas du tout comment faire, merci d'avance a ceux qui voudront bien m'aider !
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[invite793e45a2]

J'ai oublié une question que je n'arrive pas non plus :
Montrer que pour tout x réel, f'(x)= (e^x -2) / 3(e^x + 1)

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1.a. lim (1/3)x = +oo
Soit g(x) = uov, avec u= ln (x) et v= 1 + e^-x

lim (x->+oo) ln(x)=+oo Et ?
lim (x->+oo) (1+e^-x) => lim 1=1 et lim (x->+oo) e^-x= 0

Donc lim (x->+oo) ln(1+e^-x)=+oo Ah bon ??
Donc par addition, lim (x->+oo) f(x)= +oo

Pour l'asymptote: lim (x->+oo) f(x)- (1/3)x = lim (x->+oo) ln(1+e^-x)

=> lim ln(1)= 0 et lim ln (e^-x) = 0 On l'impression, en te lisant, que le ln d'une somme est la somme des ln... C'est faux !
Donc lim (x->+oo) ln (1+e^-x) = 0 Là oui mais tu remarqueras que c'est en contradiction avec ce que tu as écrit plus haut...
Donc y= (1/3)x est bien asymptote a la courbe C.

Je te propose d'étudier plus simplement la limite de f(x)-(1/3)x soit la limite de ln(1+e^-x) en +infini.
C'est ce que tu as fait en fait de manière un peu maladroite notamment en calculant la limite de (1/3)x qui est inutile...

puisque


Pour les positions relatives (1.b), il te faut étudier le signe du 0 obtenu ci-dessus : c'est 0⁺ ou 0^- ?


1.c. Je te propose de factoriser dans ln (1+e^-x) par e^-x et, avec ln(a*b)=ln(a) + ln(b) et ln(e^-x)=..., tu devrais t'en sortir


2. A quoi correspond la pente de la tangente d'une fonction en un point d'une courbe ?

Duke.

[pallas]

lla derivée de lnu est u'/u, cellle de e^-x est -e^-x
et tu remplaces ensuite e^-x par 1/e^x simple ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

Yo !

Je vais essayer de voir point par point.

Déjà à la première question tu écris, lim (x->+oo) (1+e^-x) =>1, (ce qui est parfaitement juste) et juste après, donc lim (x->+oo) ln(1+e^-x)=+oo. N'y vois tu pas comment un malaise ? Histoire de refaire un peu de cours lorsque v tend vers L quand x tend vers a et que U est continue en a alors UoV tend vers U(L) quand x tend vers a.

Toutefois, reste que, par chance, tu trouves le bon résultat! (1/3)x tend effectivement vers +oo donc à partir de là, plus de problème!


Woh woh ! par contre là pour l'asymptote il y a des choses qui ne vont pas.

Déjà, ln(1)= 0, certes, mais lim ln (e^-x) = 0 ?! ça voudrait dire que -x tend vers 1 en l'infini ?! Et encore, la plus grosse faut reste quand même que tu as fait comme si Ln(a+b)=Ln(a)+Ln(b), alors que la vraie formule, celle qui doit être dans ton cours, est Ln(ab)=Ln(a)+Ln(b).

Donc tout ce calcul est à revoir, quoiqu'en fait non, car lim(1+e^-x), tu viens de le calculer juste avant. Donc bon je ne t'avais pas donné le résultat mais puisqu'on te demande de montrer que y=(1/3)x est une asymptote, tu te doutes bien que lim(1+e^-x) vaut 0 donc du coup effectivement la droite y=(1/3)x est bien une asymptote, le raisonnement général est donc parfaitement juste!



Ensuite, alors, il faut étudier les positions relatives de D et C. Effectivement il faut étudier f(x)-y, c'est en effet la meilleur méthode, en plus là tout de suite maintenant, je n'en vois pas d'autres plus appropriée.

On étudie donc f(x)-y : donc en fait pour faire simple c'est étudier ln(1+e^-x) hein ^^ donc trace simplement le tableau de variation de cette fonction, il y a un petit calcul de dérivée mais pas méchant du tout, et on regarde où f(x)-y s'annule (si toutefois elle a des points d'annulation bien sûr!) donc après c'est gagné !! Tu regardes là où c'est positif : c'est à dire f(x)-y>0 donc f(x)>y. C'est donc que C est au dessus de D. Inversement si f(x)-y<0 eh bien C est en dessous de D et là où ça vaut zéro, les courbes de croisent.



Ensuite, question c. Je t'avouerai que le mieux c'est de la reprendre depuis le début parce que je n'ai pas vraiment compris ce que tu as voulu faire, en fait c'est peut être juste je ne sais pas mais tu vas voir qu'elle peut se faire directement avec des égalités, donc sans faire la démo dans un sens, puis avec une réciproque.

Ln(1+e^-x) + (1/3)x = ??? = ??? = ???= ln (e^x +1) - (2/3)x

je te conseille de factoriser 1+e^-x par e^-x. Je te rappelle (on sait jamais ^^) que e^x * e^-x=1. une fois que tu as factorisé, tu te retrouves avec un Ln avec à l'intérieur un produit et non plus une somme ! tu n'as plus qu'à utiliser la formule utilisée à la question 1, et c'est gagné ! (Je le répète aussi ici, la fonction Ln est la fonction réciproque de la fonction exp! Ca implique que quelque soit x, Ln(e^x)=x. Mais ça c'est dans ton cours aussi...


Par contre attention pour la limite je te dis juste qu'a priori ça ne tend pas vers -oo (fait attention aux signes, tu devrais repérer ton erreur facilement!)

Ensuite pour la question 2, calculer un coefficient directeur en 0, c'est simplement calculer là dérivée en 0 !

Ensuite pour M et N, ce sont deux point de C OPPOSES. ça veut dire que l'un à pour coordonnées (x,f(x)), et l'autre (-x,f(-x)). tu as donc deux points, avec leur coordonnées en fonction de x, tu peux donc facilement trouver l'équation de la droite qui passe par ces points. En fait tu as juste besoin du coefficient directeur (a=Y2-Y1/X2-X1) qui est donc (f(x)-f(-x))/x-(-x). Si tu montres que c'est égal à une constante qui vaut ta fameuse dérivée en zéro, c'est qu'il y a un même coefficient directeur : les droites sont parallèles.


Bon sinon pour la toute dernière question, je n'ai pas du tout regardé, parce que je n'ai pas de papier et de crayon sous la main, mais à mon avis il suffit que tu mettes ta dérivée avec un dénominateur commun, tu risques fortement d'avoir du 3(e^x + 1) en dénominateur et je ne m'inquiète pas, ça doit bien s'arranger au numérateur pour que ça fasse (e^x -2).

Voilà voilà

Quentin