Théorème de Ménélaüs!

[invite8649d9c6]

Bonjour à vous tous, cela faisait un bon bout de temps que je n'avais pas eu besoin de faire appel à votre précieuse aide! Grâce à vous j'ai réussis à redémarrer en mathématique! Cependant, un problème s'oppose à moi et je ne sais pas comment le résoudre. Je crains de ne pas le comprendre totalement.. Sur ce le vois-ci:

Théorème de Ménélaüs:

Soit ABC un triangle et soient a, b et c trois réels différents de 1.
M est un points de la droite (BC), distinct de B et de C tel que (vecteur)MB=c(vecteur)MC
N est un point de la droite (AC), distinct de A et de C tel que (vecteur)NC=b(vecteur)NA
P est un point de la droite (AB), distinct de A et de B tel que (vecteur)PA=a(vecteur)PB
Les points M, N et P sont alignés si et seulement si abc=1

On se place dans le repère (A;(vecteur)AB;(vecteur)AC)

1.a) A l'aide de l'égalité (vecteur)PA=a(vecteur)PB et de la relation de Chasles, exprimer (vecteur)PA en fonction de (vecteur)AB
b) En déduire les coordonnées de P dans le repère (A;(vecteur)AB;(vecteur)AC)

2.a) En utilisans une méthode analogue à celle de la questions 1.a), déterminer les coordonnées de N dans le repère (A;(vecteur)AB;(vecteur)AC)
b) En déduire les coordonnées du vecteur PN

3.a) En utilisant une méthode analogue à celle des questions 1.a) et 2.a) déterminer les coordonnées de M dans le repère (A;(vecteur)AB;(vecteur)AC)
b) En déduire les coordonnées du vecteurs de (vecteur)PM.

4. Montrer alors le théorème de Ménélaüs

Faire un schémas aide à la compréhension, cependant je n'arrive pas à démarrer :/
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[shokin]

Salut azertyi82,

As-tu pu exprimer p1 et p2 (les coordonnées de P) en fonction de a1, a2, c1, c2 et a ?

De la même manière, tu exprimeras n1 et n2, m1 et m2.

Une fois toutes ces coordonnées (des point M, N et P) trouvées, tu dois déterminer la condition pour que (ces) trois points soient alignés, et la transformer en équation.

[invite8649d9c6]

Ah vrai dire, je crois que je n'ai pas les bonnes techniques, ni les bonnes formules. Pour la question 1.a) J'ai regardé graphiquement et ainsi sa me donne x(vecteur)PA=(vecteur)PB. Cependant je ne sais même pas si cela est juste.. Si oui, je ne sais pas le démontrer.. Et me servir de cela pour déduire des coordonnées...

[shokin]

Garde les formules telles qu'elles te sont données.

M est un points de la droite (BC), distinct de B et de C tel que (vecteur)MB=c(vecteur)MC
N est un point de la droite (AC), distinct de A et de C tel que (vecteur)NC=b(vecteur)NA
P est un point de la droite (AB), distinct de A et de B tel que (vecteur)PA=a(vecteur)PB

La première égalité te dit que :




Tu isoles m1 et m2 dans ces deux équations.

Tu répètes le même processus pour N et P.

Détermine alors les composantes des vecteurs PM et PM comme demandé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8649d9c6]

Mais comment trouves tu b1, m1, c1 ainsi que le reste? Ne faut-il pas décomposer PB pour trouver AB?

[invite8649d9c6]

Je crois que j'ai trouvé quelque chose pour la première question:
PA=aPB
PA=a(PA+AB)
PA*aPA=aAB
PA(1-a)=aAB
PA=a/(1-a)AB

=) Mais maintenant je ne sais pas comment calculer P :/
Et je ne comprends toujours pas comment tu trouves b1, m1^^

[shokin]

Ce que j'appelle b1, m1 et c1 sont des paramètres. Je les laisse sous forme de lettres pour généraliser. Mais, effectivement, nous ne serons pas obligés de les utiliser.

On se place dans le repère (A;(vecteur)AB;(vecteur)AC)

et sont les deux vecteurs en fonction desquels tu vas définir les autres vecteurs.

Par exemple

Pour trouver ,







Ce qui correspond à ce que tu viens de faire.

Pour trouver les coordonnées de P. N'oublie pas que les coordonnées sont relatives à un repère. Et le repère a été défini :



A est le point origine.

D'après ce que l'on vient de trouver :



Donc les coordonnées de P dans ce repère sont et .

[invite8649d9c6]

Dac merci!
Et donc je reproduits la même chose à chaque fois pour trouver N et M

Mais pour calculer les coordonnées d'un vecteur il faut bien juste par exemple (vecteur)PN(n1-a/(1-a))
(n2-0)
C'est bien sa?^^

[shokin]

Pour un vecteur, on ne parle pas de coordonnées, mais de composantes.

Pour trouver les composantes d'un vecteur, tu dois réussir à exprimer celui-ci comme combinaison linéaire des deux vecteurs du repère.

Tu vas exprimer tous les vecteurs, grâce à diverses transformations (relation de Chasles notamment), en fonction des deux vecteurs du repère, qui sont et .

On a déjà vu que .

Tu vas exprimer puis , sachant que .

Tu vas exprimer puis , sachant que .

Enfin, il te reste à calculer le déterminant de la matrice formée par les vecteurs et . Comme tu te rappelles que le déterminant d'une matrice carrée est nul si et seulement les vecteurs qui forment cette matrice sont linéairement dépendants (colinéaires dans le cas de deux vecteurs), tu poses l'équation det(A)=0, dont les inconnues sont a, b et c.

[invite8649d9c6]

Je crois que j'ai pas compris quelque chose,
je pensais que P a pour coordonnées (a/1-a;0) et que PA est son équivalent puisque A c'est l'origine.
Donc si je détermine les composantes de NA et MA j'aurai donc les coordonnées de M et N?
Donc ensuite je fais (vecteur) PN(b-a;b-a) ainsi que (vecteur) PM(b-a;b-a)?

Je crois avoir calculé que:
-NC=bNA
NC=b(NC+CA)
NC=bNC-bAC
NC(1-b)=-bAC
NC=-b/(1-b)AC

N(0;-b/(1-b))

Puis,
MB=cMC
MB=c(MB+BC)
MB=cMB+cBC
MB(1-c)=cBC
MB=c/(1-c)BC

Pour BC je suis coincé :/
Alors, es-ce que j'ai compris cette partie?^^ merci pour ton aide

[shokin]

Je crois que j'ai pas compris quelque chose,
je pensais que P a pour coordonnées (a/1-a;0) et que PA est son équivalent puisque A c'est l'origine.

En fait, c'est juste l'opposé. Le point P a pour "équivalent" le vecteur . Donc ses coordonnées sont . Au fait, dans cet exercice, c'est moins le point P que le vecteur qui nous intéresse.

Souvent, comme les coordonnées du point origine sont (0;0), on exprime un point à l'aide du vecteur parce que c'est plus pratique pour manier avec d'autres vecteurs, tant dans les formules que dans le calcul vectoriel. Par exemple, la formule pour cacluler le centre de gravité G d'un triangle s'écrit souvent .

Je crois avoir calculé que:
NC=bNA
NC=b(NC+CA)
NC=bNC-bAC
NC(1-b)=-bAC
NC=-b/(1-b)AC

N(0;-b/(1-b))

Que tu peux aussi écrire

Puis,
MB=cMC
MB=c(MB+BC)
MB=cMB+cBC
MB(1-c)=cBC
MB=c/(1-c)BC

C'est tout bon.

Pour BC je suis coincé :/

Par exemple

[invite8649d9c6]

Si j'ai pas fais de fautes

MB=c/(1-c)AC-c/(1-c)AB Donc M(-c/(1-c), c/1-c))

Ensuite, si A a pour coordonnées (xA ; yA) et B a pour coordonnées (xB ; yB) alors : (vecteur) AB(xB-xA, yB-yA)
(vecteur) PN(-a/(1-a); -b/(1-b))
(Vecteur) PM(-c/(1-c)-a/(1-a); c/(1-c)) Peut-on simplifier?

Comment montrer le théorème, maintenant? svp

[shokin]

Quand j'ai écrit ce qui suit

Que tu peux aussi écrire

je me suis trompé de vecteur, je devais écrire :



Okay, tu as donc calculé :

MB=c/(1-c)AC-c/(1-c)AB

Oui.

Donc M(-c/(1-c), c/1-c))

Non, parce que tu dois partir du point origine, donc calculer .

Idem, tu vas calculer .

En sachant que et que .

Ou tu peux aussi faire directement :


...

[invite8649d9c6]

Tu peux me dire alors comment tu passe de NC=-b/(1-b)CA à AN=b/(1-b)AC ? Tu peux faire D'après la relation de Chasles, NA+CA=-b/(1-b)CA => AN-AC=b/(1-b)AC Et là sa fait donc AN=-b/(1-b)AC?

MB=c/(1-c)AC-c/(1-c)AB => AM+AB= c/(1-c)AC-c/(1-c)AB => AM= [c/(1-c)AC-c/(1-c)AB]/AB j'arrive pas à arriver à AM=AB+BM

Je crois que j'ai du mal à comprendre ce chapitre

[invite8649d9c6]

Pour la question 4 il faut multiplier les coordonnées de P, PN ainsi que PM entre eux? :S (Juste pour savoir faire, pour enchaîner après avoir réussis les questions précédentes^^) Si oui, comment on multiplie des coordonnées entre elles?^^ mici

[shokin]

Et là sa fait donc AN=-b/(1-b)AC?

c'est la même chose que



J'ai opposé à la fois le numérateur et le dénominateur.

Je vais reprendre depuis le début le problème :

1. Notre premier but est d'exprimer et en fonction de et .

Premièrement, avec la relation de Chasles, nous décomposons ces deux vecteurs en sommes de vecteurs colinéaires aux vecteurs directeurs des côtés du triangle ABC :





Il s'agit alors d'exprimer ces quatre nouveaux vecteurs produits respectifs de réels par ces vecteurs directeurs, ceci à l'aide des égalités données suivantes :







Calculons alors ces quatre vecteurs :

Calculons

(égalité donnée)

(décomposition du vecteur de l'autre côté)

(réunion des termes semblables)

(mise en évidence)

(isolation)

(éventuelle transformation en vecteurs du repère et )

(expression en matrice)

Suivant le même processus, tu obtiendra finalement :









Revenons aux deux vecteurs nous essayions de calculer :





Donc





Maintenant que nous avons nos deux vecteurs, qui sont des matrices (2*1) [2 lignes et 1 colonne], nous pouvons former la matrice carrée (2*2) :



Pourquoi cela ? Car nous nous rappelons que :

Le déterminant d'une matrice carrée (n*n) (avec n nombre naturel non nul) est nul si et seulement si les n vecteurs-colonnes (ou les n vecteurs-lignes) sont linéairement dépendants.

Quand n=2, "linéairement dépendants" = "colinéaires".

Nous voulons que et soient colinéaires donc nous voulons que le déterminant de cette matrice soit nul (égal à 0).

Nous devons donc résoudre l'équation suivante :



Pour une matrice carrée (2*2) telle ,



Résolvons donc l'équation :



(simplification par (1-a)

(simplification par (c-1)







Le numérateur doit être nul.





CQFD

[shokin]

J'ai corrigé quelques erreurs de frappe.



c'est la même chose que



J'ai opposé à la fois le numérateur et le dénominateur.

Je vais reprendre depuis le début le problème :

1. Notre premier but est d'exprimer et en fonction de et .

Premièrement, avec la relation de Chasles, nous décomposons ces deux vecteurs en sommes de vecteurs colinéaires aux vecteurs directeurs des côtés du triangle ABC :





Il s'agit alors d'exprimer ces quatre nouveaux vecteurs produits respectifs de réels par ces vecteurs directeurs, ceci à l'aide des égalités données suivantes :







Calculons alors ces quatre vecteurs :

Calculons

(égalité donnée)

(décomposition du vecteur de l'autre côté)

(réunion des termes semblables)

(mise en évidence)

(isolation)

(éventuelle transformation en vecteurs du repère et )

(expression en matrice)

Suivant le même processus, tu obtiendra finalement :









Revenons aux deux vecteurs nous essayions de calculer :





Donc





Maintenant que nous avons nos deux vecteurs, qui sont des matrices (2*1) [2 lignes et 1 colonne], nous pouvons former la matrice carrée (2*2) :



Pourquoi cela ? Car nous nous rappelons que :

Le déterminant d'une matrice carrée (n*n) (avec n nombre naturel non nul) est nul si et seulement si les n vecteurs-colonnes (ou les n vecteurs-lignes) sont linéairement dépendants.

Quand n=2, "linéairement dépendants" = "colinéaires".

Nous voulons que et soient colinéaires donc nous voulons que le déterminant de cette matrice soit nul (égal à 0).

Nous devons donc résoudre l'équation suivante :



Pour une matrice carrée (2*2) telle ,



Résolvons donc l'équation :



(simplification par (1-a)

(simplification par (c-1)







Le numérateur doit être nul.





CQFD

[invite8649d9c6]

MB = cMC
MA + AB = c(MA + AC)
MA(1 - c) = cAC -AB
MA=c/(1-c)AC-AB/(1-c)
AM=-c/(1-c)AC+AB/(1-c)

Est-ce bien ceci?^^
Et pour AN est-ce juste s'il vous plaît?

[shokin]

Pour , c'est juste, mais autant aller directement à .

Relis mon précédent message. C'est un chemin relativement court pour aller directement à la solution.

[invite8649d9c6]

Donc, PA=a/(1-a)AB
AP=-a/(1-a)AB

Donc P(-a/(1-a);0)

N(0;-1/(b-1))

PN(a/(1-a);-1/(b-1))

M(1/(1-c);-c/(1-c))

PM(1/(1-c)+a/(1-a); -c/(1-c))

Je ne pense pas mettre trompé, comment faire pour prouver le dernier théorème maintenant? svp
Y a t-il un système à résoudre pour trouver a, b puis c? Pour pouvoir ensuite les multiplier entre eux?

[shokin]

Il me semble que tu as juste interverti M et N :





Bon, ce n'est pas si grave. Ensuite, tu dois prouver que ces deux vecteurs sont colinéaires, donc en prouvant que le déterminant de la matrice carrée qu'ils forment ensemble est nul.



Maintenant que nous avons nos deux vecteurs, qui sont des matrices (2*1) [2 lignes et 1 colonne], nous pouvons former la matrice carrée (2*2) :



Pourquoi cela ? Car nous nous rappelons que :

Le déterminant d'une matrice carrée (n*n) (avec n nombre naturel non nul) est nul si et seulement si les n vecteurs-colonnes (ou les n vecteurs-lignes) sont linéairement dépendants.

Quand n=2, "linéairement dépendants" = "colinéaires".

Nous voulons que et soient colinéaires donc nous voulons que le déterminant de cette matrice soit nul (égal à 0).

Nous devons donc résoudre l'équation suivante :



Pour une matrice carrée (2*2) telle ,



Résolvons donc l'équation :



(simplification par (1-a)

(simplification par (c-1)







Le numérateur doit être nul.

[invite8649d9c6]

PN(a/(1-a);-1/(b-1))

PM(1/(1-c)+a/(1-a); -c/(1-c))

xy' - yx' = 0

Si j'essais cela me donne:

[a/(1-a)]*[-c/(1-c)]-[[-1/(b-1)]*[1/(1-c)+a/(1-a)]]
=a/(1-a)*-c/(1-c)*a/(1-a)+[1/(b-1)]*[-1/(1-c)-a/(1-a)]
Peut-on simplifier?
=-c/(1-c)+[1/(b-1)]*-1/(1-c)*[1/(b-1)]+[1/(b-1)]*(-a)/(1-a)*[1/(b-1)]
Peut-on encore simplifier?
=-c/(1-c)-1/(1-c)-a/(1-a)

Cela me donne un résultat bien louche, aurais-je oublié quelque chose?^^

[invite8649d9c6]

Alors, je ne voyais pas tes réponses depuis 2messages jusqu'à maintenant^^ un jolie petit bug, je crois mettre aventuré dans un "truc" à peu près similaire au tiens. Petit soucis je ne comprends pas bien le mot "Matrice"^^
Je vais essayé de décortiquer ce que tu m'as dis sur la fin, cependant es-ce que ma technique est bonne?

[shokin]

Si vous n'avez pas vu ce qu'est une matrice (et le déterminant d'une matrice carrée), comment avez-vous appris démontré que deux vecteurs sont colinéaires ?

En démontrant qu'il existe un réel x tel que .





S'il existe un x tel , alors les quotients de chaque composante du vecteur par chaque composante respectivement correspondante du vecteur doivent être égaux.

Donc on chercher à quelle condition



Cela donne :













CQFD

[invite8649d9c6]

Raahhlala j'ai plus les mêmes coordonnées je comprends plus ce que j'ai fais..

NA+CA=-b/(1-b)CA
AN-AC=b/(1-b)AC
AN=-b/(1-b)AC
sa c'est bon
Mais pour M Je suis toujours à la ramasse.. Si tu pouvais me le démontrer stp je vois pas où je pêche à la fin je tombe pas du tout sur les mm résultat que toi..

[invite8649d9c6]

Enfaite je m'y retrouve pas du tout je sais même plus comment j'arrive à
NA+CA=-b/(1-b)CA
AN-AC=b/(1-b)AC
AN=-b/(1-b)AC

Dsl je crois que je suis un cas désespéré.. Dire que je dois le rendre demain

[shokin]

Même si ce n'est pas nécessaire, si tu veux exprimer et en fonction de et , reprends tes trois égalités données :







Tu n'as pas besoin de la dernière, mais tu auras besoin de la suivante :



Et de te rappeler que :



Calculons :

























Donc



Passons maintenant à :













Donc

[invite8649d9c6]

Merci Sa a super bien marché pour moi !