Exercice vecteurs

[invitea00d5a5b]

Bonjour!, alors voilà, j'ai un exercice sur les vecteurs que je n'arrive pas à résoudre, voici l'énoncé:

ABC est un triangle quelconque.
1) Construire les point D, E et F tels que AD=2AB-AC, BE=BD+2AC, CF=1/2CE.
2) Démontrer que ABEF est un parallélogramme.

J'ai réussi la construction, pour démontrer il faut prouver que AB=FE et que BE=AF, alors j'ai commencé avec ça:

AB=AE+EB
AB=AE-BD-2AC

Mais après je ne sais pas quoi faire, de plus il faut dire que je suis une prune en ce qui concerne les vecteurs.

Merci d'avance!
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[PlaneteF]

ABC est un triangle quelconque.
1) Construire les point D, E et F tels que AD=2AB-AC, BE=BD+2AC, CF=1/2CE.
2) Démontrer que ABEF est un parallélogramme.

J'ai réussi la construction, pour démontrer il faut prouver que AB=FE et que BE=AF, alors j'ai commencé avec ça:

AB=AE+EB
AB=AE-BD-2AC

Bonsoir,

Petite remarque au préalable :
Pour montrer que ABEF est un parallélogramme, il suffit de démontrer que , ... pas besoin de démontrer en plus que

Le problème avec ce genre d'exercice, c'est que tu peux partir dans tous les sens, tourner en rond pendant des heures sans rien trouver, ... alors que la solution est assez simple. Pour s'aider, il faut essayer de raisonner sur la figure, afin de "percevoir" d'où l'on part, où l'on veut arriver, et par quel chemin.

Donc tu pars par exemple de ... pour arriver à

est donné par l'intermédiaire de la 1ère relation :



A partir de là tu utilises la 2e relation qui te donne , tu remplaces dans l'égalité précédente, ... et enfin tu utilises la 3e relation, ... et c'est terminé

[invitea00d5a5b]

Bonjour!

J'ai pas très bien compris: par exemple pour la deuxième relation sa me fait: 2AC= BE-BD=(BD+DE)+BD=2BD+BE ?

Merci de ton aide

[PlaneteF]

Bonjour!

J'ai pas très bien compris: par exemple pour la deuxième relation sa me fait: 2AC= BE-BD=(BD+DE)+BD=2BD+BE ?

Merci de ton aide

C'est plus simple que cela :

La 2e relation te donne :

Tu remplaces dans le relation que l'on avait écrite prédemment :



A partir de là tu utilises la 3e relation et c'est quasi-terminé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea00d5a5b]

Ok, donc du coup la 3eme sa me donne:
1/2CE=FC
1/2CE=FB+BF

après je sais pas comment continuer, ( je sais c'est simple mais moi et les vecteur sa fait 2)

Merci!

[PlaneteF]

Ok, donc du coup la 3eme sa me donne:
1/2CE=FC
1/2CE=FB+BF

après je sais pas comment continuer, ( je sais c'est simple mais moi et les vecteur sa fait 2)

Merci!

Regarde bien ta figure, normalement cela devrait te donner le bon calcul à effectuer ! ...

Ainsi la 3e relation te donne :

donc .

On remplace enfin dans la relation que l'on avait entamée, et il reste :

Donc

[invitea00d5a5b]

Ha, ok!! d'accord en faite il n'y avait pas plus quiche que moi , mdr

Merci beaucoup de m'avoir aidé et maintenant je sais comment faire!

[PlaneteF]

Ha, ok!! d'accord en faite il n'y avait pas plus quiche que moi , mdr

Je trouve cet exercice potentiellement plus délicat qu'il n'y parait. Si tu raisonnes bien sur la figure, la solution que j'ai donné n'est pas si compliquée à trouver.
Par contre il y a tellement de chemins différents que tu peux prendre et qui ne mènent à rien du tout, qu'au début tu peux t'emmêler les pinceaux très facilement !

[invitea00d5a5b]

Oui t'a raison, il y a tellement de choix des chemins a prendre au début qu'il faut bien observé la figure.

Encore merci pour ton aide!

[invite956e2bc3]

On a: AD=2AB-AC celà veut dire que: AB=1/2 AD+1/2 AC (1)

CF=1/2CE DONC: CE+EF= 1/2 CE ALORS: EF=-1/2 CE
On applique la relation de Chal donc la relation ci-dessus devient:

EF=-1/2CA-1/2AB-1/2BE et puisque BE=BD+ 2AC donc:
EF=-1/2CA-1/2AB-1/2BD-AC
EF=-1/2CA-1/2AB-1/2BA-1/2AD-AC
On calcule la somme des vecteurs qui sont de meme couleurs:
Après on obtient la relation suivante:
EF=-1/2AC-1/2AD(2)
De (1) et (2) on déduit que AB=-EF donc AB=FE. ABEF est un parallélogramme



P.S.-Je ne sais pas comment faire la flèche du vecteur c'est parceque j'ai représenté les vecteurs comme des distances!