Langage des Limites et Tangente à une courbe

[invitef1b035b7]

Bonjour à tous

Je voudrais de l'aide SVP. Je tourne un peu en rond...Je vais essayer d'expliquer mon petit problème. J'ai du mal avec le Langage des Limites...

Je vais partir d'un exemple trivial le calcul de la pente d'une tangente.Souvent dans les livres, on nous présente une courbe C représentative d'une fonction f avec un point A d'abscisse a et d'ordonnée f(a) soit A(a,f(a)) et un point M appartenant à cette courbe d'abscisse x et d'ordonnée f(x) soit M(x,f(x)). Généralement, on trace une droite entre le point A et un point M choisi au hasard sur la courbe C et on trace la tangente à la courbe au point A d'abscisse a. Chacune de ces deux droites possède un coefficient directeur différent. On imagine ensuite faire glisser le point M sur la courbe C et on trace les droites (AM) correspondantes. On voit bien alors que lorsque M se rapproche de A la droite (AM) s'incline de telle façon à devenir très très proche de la tangente au point A. Jusque là tout va bien.Là où ça coince c'est lorsque l'on mathématise ces positions en utilisant le taux de variations noté t.

Si je développe le calcul cela donne :

t=[ f(x)-f(a)]/[x-a] avec x différent de a

Si je pose x=a+h on obtient :

t=[ f(a+h) -f(a)]/h avec h différent de zéro

Ce taux de variation représente le coefficient directeur de la droite (AM). Pour qu'il existe h étant au dénominateur, h doit être différent de zéro.

Je vais partir d'une exemple simple :

Le taux d'accroissement de la fonction f : x qui associe x2 (fonction x au carré) entre 1 et 1+h est donné par :

t=[f(1+h)-f(1)]/h=[(1+h)2-1]/h IMPORTANT : h doit être différent de zéro pour que t existe

Si on développe cette expression on peut simplifier par h et on obtient :

t=2+h

C'est là que ça coince pour moi...en effet la suite du problème consiste à faire le passage à la limite donc on écrit :

Lim t (lorsque h tend vers zéro) = Lim (2+h) (lorsque h tend vers zéro)=2

Dans ma tête je substitue h par zéro pour trouver la valeur 2 alors que précédemment on insiste bien sur le fait que pour que le taux t existe h doit être différent de zéro hors ici lors du passage à la limite on fait comme si on pouvait substituer h par zéro alors que h tend vers zéro (ce qui correspond au fait de rapprocher le point M aussi proche que l'on veut du point A mais sans jamais l'atteindre). Pour moi il y'a une contradiction que je n'arrive pas à lever.

J'ai été un peu long mais je voulais être le plus précis possible.

Merci pour votre aide
-----

[PlaneteF]

Lim t (lorsque h tend vers zéro) = Lim (2+h) (lorsque h tend vers zéro)=2

Dans ma tête je substitue h par zéro pour trouver la valeur 2 alors que précédemment on insiste bien sur le fait que pour que le taux t existe h doit être différent de zéro hors ici lors du passage à la limite on fait comme si on pouvait substituer h par zéro alors que h tend vers zéro (ce qui correspond au fait de rapprocher le point M aussi proche que l'on veut du point A mais sans jamais l'atteindre). Pour moi il y'a une contradiction que je n'arrive pas à lever.

Bonjour,

En fait quand tu calcules :



à aucun moment tu considères h=0.

Ce que tu fais dans ce cas là de manière "machinale", c'est que tu utilises le fait que lorsqu'une fonction f est continue pour h=0,



... sauf que, pour démontrer ce résultat, (ou tout autre résultat sur le calcul des limites), tu dois forcément passer par la définition même de la limite d'une fonction, qui va te faire manipuler un |h| que l'on peut rendre aussi petit que l'on veut, mais jamais =0.

[invite00970985]

Ton incompréhension vient de la super modification de programme qui fait que vous ne voyez plus limites "pour de vrai" en première mais en terminale. Et ta réaction est parfaitement compréhensible !

Le truc c'est que quand tu écris , tu dis en fait (en termes un peu vagues) "si h est très proche de 0 alors 2+h est très proche de 2". Ce qui se traduit dans le langage des limites par "2+h tend vers 2 lorsque h tend vers 0".
Es tu convaincu par ces phrases là ? A ton niveau, on peut difficilement être beaucoup plus précis sans te perdre je pense...

Pourquoi se ramène-t-on à ce cas là et ne peut-on pas conclure directement avec le taux de variation ?

Car sans manipulation, . Et sous cette forme, la limite n'est pas évidente : effectivement, si tu fais tendre h vers 0, le numérateur et le dénominateur vont aussi tendre vers 0... Et ça, on ne peut pas dire facilement que ça tend vers 2... Ce qui t'oblige à transformer ton expression et te ramener à une expression où la limite est "évidente".

[invitef1b035b7]

Merci beaucoup PlaneteF et sebsheep, je pense avoir enfin compris la notion de Limite et son langage...ce n'était pas simple...maintenant je vais enfin pouvoir passer à autre chose...je commençais à tourner en rond.

[A voir en vidéo sur Futura]