DM spe TS (critere de divisibilite par 9)

[caprica]

bonjour! j'ai besoin d-aide pour cet exo:

x = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀
1. demontrer que, pour tout k de N il existe 1 entier naturel l tel que 10^k = 1 + 9l
2. en deduire qu'il existe 1 entier naturel A tel que x = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ + 9A
3. montrer que x est divisible par 9 si est seulemet si a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ l'est egalement.
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[PlaneteF]

1. demontrer que, pour tout k de N il existe 1 entier naturel l tel que 10^k = 1 + 9l

Bonsoir,

Tu peux par exemple écrire que : 10^k = (9+1)^k et utiliser la formule du binôme de Newton, avec résultat quasi-immédiat.

[caprica]

merci mais qu'est ce que c'est le binome de Newton??

[PlaneteF]

merci mais qu'est ce que c'est le binome de Newton??

C'est la formule qui donne (a+b)ⁿ --> Cf lien ci-dessous

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...nôme_de_Newton

[A voir en vidéo sur Futura]

[sammy93]

Salut.
Si tu ne connais pas le binome de Newton,tu peux utiliser les congruences dans en commençant par :
10=1[9] et continuer.
Désolé PlanetF,je pensais que tu étais déconnecté.

[caprica]

merci, mais en classe on n'a vu que la divisibilite et la division euclidienne, donc je ne dois utiliser que ceci pour resoudre cet exo.

[PlaneteF]

merci, mais en classe on n'a vu que la divisibilite et la division euclidienne, donc je ne dois utiliser que ceci pour resoudre cet exo.

OK, et bien alors dans ce cas, tu peux employer un bon vieux raisonnement par récurrence "des familles", ... and it's in the bag!

[caprica]

ok. j'ai un peu de mal a faire la demo. voila ce que j'ai fait:
pour k=o, c'est verifie
10^k+1 = 10^k x 10 = 9 x 10^k + 10^k
et la je bloque.
mais de m'aider

[PlaneteF]

ok. j'ai un peu de mal a faire la demo. voila ce que j'ai fait:
pour k=o, c'est verifie
10^k+1 = 10^k x 10 = 9 x 10^k + 10^k
et la je bloque.
mais de m'aider

Remarque : Pour k=0, même si cela est évident il faut être explicite : , donc de la forme , avec entier naturel.

Ensuite il faut utiliser l'hypothèse de récurrence à savoir : , que tu remplaces dans ton calcul ...

[caprica]

ok.
on suppose que 10^k = 1 + 9l
je remplace ca dans le calcul et je trouve: 10^k+1 = 9(10^k + l) +1
et apres?

[caprica]

10^k+1 = 9 (10^k + l) + 1
soit 10^k + l = l''
donc 10^k+1 = 1 + 9l''
donc pour tout k de N, 10^k = 1 + 9l
est-ce que c'est correct??

[PlaneteF]

10^k+1 = 9 (10^k + l) + 1
soit 10^k + l = l''
donc 10^k+1 = 1 + 9l''
donc pour tout k de N, 10^k = 1 + 9l
est-ce que c'est correct??

Oui, c'est bon, ... juste pour être rigoureux dans la démonstration, préciser que est bien un entier naturel.

[caprica]

merci beaucoup!
et pour la 3 je fais comment??

[PlaneteF]

merci beaucoup!
et pour la 3 je fais comment??

Tu as fait le 2) ?

[caprica]

pas encore, mais je crois que je peux le faire.

[PlaneteF]

pas encore, mais je crois que je peux le faire.

La question 3) est une conséquence directe de la question 2) et se fait presque instantanément.

Il suffit juste d'exprimer qu'un nombre divisible par 9 s'écrit 9k avec k entier naturel.

[caprica]

x = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀
= a_n(9l'' + 1) + a_n-1(9l' + 1) + ... + a₁(9 + 1) + a₀
= a_n + 9l''a_n + a_n-1 + 9l'a_n-1 + ... + a₁ + 9la₁ + a₀
soit l''a_n + l'a_n-1 + ... + a₁ = A
donc a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀ = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ + 9A
est-ce que c'est bon?

[PlaneteF]

x = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀
= a_n(9l'' + 1) + a_n-1(9l' + 1) + ... + a₁(9 + 1) + a₀
= a_n + 9l''a_n + a_n-1 + 9l'a_n-1 + ... + a₁ + 9la₁ + a₀
soit l''a_n + l'a_n-1 + ... + a₁ = A
donc a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀ = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ + 9A
est-ce que c'est bon?

Oui c'est bon, ...

Juste une petite remarque de notation : Plutôt que d'utiliser des et qui ne sont pas génériques, il vaut mieux poser :

Cela a l'avantage d'utiliser une notation rigoureuse sans confusion possible, et en plus cela permet d'utiliser la notation .

Ainsi : , etc ...

[caprica]

ok, cool. merci beacoup pour ton aide!!!
et pour le trois je dois faire:
si x est divisible par 9 alors: x = 9k =
donc doit etre divisible par 9??

[PlaneteF]

Petite remarque : Afin d'éviter toute ambiguïté, il vaut mieux écrire ou

donc doit etre divisible par 9??

Oui, ... et pourquoi c'est le cas ?


Sinon, n'oublie pas de démontrer la réciproque !

[caprica]

qu'est ce que tu veux dire par pourqoi c'est le cas?

[PlaneteF]

qu'est ce que tu veux dire par pourqoi c'est le cas?

Il faut juste préciser (tu ne l'as pas écrit explicitement) ce qui permet de justifier que est divisible par 9, ... même si cela est très simple !

[caprica]

ah ok. je le justifie en disant que si une somme est divisible par b (dans ce cas b = 9) alors chaqu'un de ses termes est divisible par b.

[PlaneteF]

ah ok. je le justifie en disant que si une somme est divisible par b (dans ce cas b = 9) alors chaqu'un de ses termes est divisible par b.

Tu avais écrit très justement : Si divisible par 9 alors :

Et puis tu t'étais arrêté là !!

Il faut juste préciser que l'on obtient alors : donc est bien divisible par 9. C'est évident, mais il faut l'écrire !!!


Maintenant il faut démontrer la réciproque ...

[caprica]

ok. et pour la reciproque:
si est divisible par 9 alors est divisible par 9. or x = . donc x est divisible par 9.

[PlaneteF]

ah ok. je le justifie en disant que si une somme est divisible par b (dans ce cas b = 9) alors chaqu'un de ses termes est divisible par b.

Attention, c'est complètement faux de dire çà

(3+5=8) est divisible par 2, ... et pourtant, ni 3, ni 5 ne sont divisibles par 2 !!

Par contre la réciproque est vraie : Si a et b sont divisibles par c, alors (a+b) est bien divisible par c

[caprica]

oops. compris.