exercice sur les suites numériques

[invitee0ab54ad]

Bonjour a tous ! Voila j'ai un exo sur les suites et je bloque. Votre aide me serait très précieuse. Voici l'énoncé :

Soit la suite u définie par un=n³/3ⁿ
le but de cet exercice est de déterminer la monotonie de cette suite en comparant U_n+1/U_n et 1.

1/ Dresser le tableau de valeur des 7 premiers termes de la suite u.
Conjecturer la monotonie de cette suite.

2/ Vérifier que pour tout entier n non nul, U_n+1/U_n=(n+1)³/3n³

3/a) Justifier que pour tout n≥1, le signe de (U_n+1/u_n)-1 est celui de -2n³+3n²+3n+1.

b) Soit la fonction f(x)=-2x³+3x²+3x+1.
Dresser le tableau de variations de f.
Quel est le signe de f sur [3;+OO[ ?

c) En déduire le sens de variations de la suite u.


Voilà,s'il vous plait toute aide est le bienvenue. Merci d'avance !
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[PlaneteF]

Bonjour,

A quel niveau as-tu des problèmes ? ... Qu'as-tu réussi à faire ?

[invitee0ab54ad]

1/j'ai fait le tableau mais je ne sais pas s'il est juste :
u0=0, u1=0.33, u2=0.88, u3=1, u4=0.79, u5=0.51, u6=0.3, u7=0.16
après je ne sait pas coment conjecturer la monotonie.

2/u_n+1/u_n=[(n+1)³/3ⁿ⁺¹]/[n³/3ⁿ]=(n+1)³/3n³
3/a)je pense que je dois etudier le signe de chaque mais je ne sais pas quelles methodes utiliser.

[PlaneteF]

1/j'ai fait le tableau mais je ne sais pas s'il est juste :
u0=0, u1=0.33, u2=0.88, u3=1, u4=0.79, u5=0.51, u6=0.3, u7=0.16
après je ne sait pas coment conjecturer la monotonie.

Essaye de voir si la suite est croissante ou décroissante à partir d'un certain rang ...

2/u_n+1/u_n=[(n+1)³/3ⁿ⁺¹]/[n³/3ⁿ]=(n+1)³/3n³

Tu as réussi à démontrer cette relation ?

3/a)je pense que je dois etudier le signe de chaque mais je ne sais pas quelles methodes utiliser.

Commence par calculer :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0ab54ad]

dc elle est decroissante a partir de u3=1.
et oui j'ai réussi a demontrer la relation du 2/ mais je ne l'ai pas recopier en entier sur le message.
donc pour le 3/a) j'ai fait :
(u_n+1/u_n)-1=((n+3)³/3n³)-1=(n³+3n²+3n+1-3n³)/3n³=(-2n³+3n²+3n+1)/3n³
Or n ≥ 1 => -2n³+3n²+3n+1 ≥ 3n³
=> (-2n³+3n²+3n+1)/3n³ ≥ 1
Donc (u_n+1/u_n)-1 ≥ 1 et -2n³+3n²+3n+1 ≥ 1.


Est-ce ça ?

[zyket]

Bonjour,

pour le 1°

tu as les valeurs u0=0 < u1=0.33 < u2=0.88 < u3=1 donc on voit que de n=0 à n=3 les valeurs de Un n'ont pas cessé d'augmenter,

mais ensuite u3=1 > u4=0.79 > u5=0.51 > u6=0.3 etc ... on voit donc qu'à partir de n=3 les valeurs de Un semblent diminuer constamment. Que dire sur la croissance ou la décroissance de (Un) à partir de n=3 ?

Pour la question n°2

Pour la 3° il faut ramener (Un+1/un)-1 à un quotient avec 3n^3 en dénominateur

[invitee0ab54ad]

ok merci ! Pour la 1) la suite est decroissante mais je ne comprend ce qu'il faut conjecturer.
et^pour la 3) j'ai fait ce que vous avez dit au-dessus.

[zyket]

Conjecturer, cela veut dire qu'en voyant ce genre de résultats (des valeurs de plus en plus petites) on peut penser que la suite est décroissante. En fait on ne peut que supposer qu'elle est décroissante (car on a des résultats que pour quelques valeurs) et tout le but de l'exo va consister à prouver qu'elle est réellement décroissante pour tout n>ou égal à 3

Une rédaction possible du 1° serait : "On voit qu'à partir de n=3 on a u4>u5>u6, on conjecture donc que la suite (Un) est décroissante à partir de n=3"

[invitee0ab54ad]

daccord ! merci beaucoup pour votre aide je pense que j'ai compris !