Représentation paramétrique d'une droite

[invited4743cb4]

Bonjour,
D'habitude je sais comment m'y prendre pour établir la représentation paramétrique d'une droite avec un système de deux équations de plan. Mais je suis bloqué sur une question, qui est pourtant surement plus simple.
Par exemple avec ces deux systèmes :
D1 {y=0 et z=-4
D2 {2x-3y=0 et y-2z=0
L'exercice ne demande pas d'établir les représentations paramétriques de ces droites mais de montrer que les systèmes définissent bien des droites.
Pour cela il suffit de montrer, dans un système, qu'un vecteur normal à un plan n'est pas colinéaire à un vecteur normal à l'autre plan.
Mais si on voulait définir une représentation paramétrique de D1 et D2, comment faire ?
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Pour définir une représentation paramétrique d'une droite, tu peux classiquement utiliser un point appartenant à la droite et un vecteur directeur de la droite. D1 n'est pas super pour faire un exemple, alors considérons plutôt D2.

Soient les points A(3;2;1) et M(x;y;z) appartenant à D2 et le vecteur directeur u(6;4;2). Quelle relation peux-tu écrire entre les vecteurs AM et u?

NB: j'ai mis classiquement en italique car il y a beaucoup plus simple ici.

[invited4743cb4]

Justement, D2 me pose beaucoup moins de problème que D1. Mais peut-être que j'ai mal expliqué ce qui me dérangeait. En fait, usuellement on peut effectivemet utiliser point et vecteur directeur. Mais dans le cas où la droite est définie comme l'intersection de deux plans, la technique enseignée est d'exprimer deux des coordonnées x, y ou z en fonction de la troisième puis de considérer cette troisième coordonée comme égale au paramètre. Pour cela on combine deux fois les deux lignes afin d'éliminer dans chacune une coordonnée différente. On obtient par exemple {x=1-t, y=2+3t, z=t, avec t réel
Mais dans les systèmes que j'ai proposé, il me semble qu'on ne peut pas effectuer cette démarche, c'est à dire éliminer une inconnue différente dans deux lignes, puisque si dans D2 on peut éliminer y, on ne peut ni éliminer x ni éliminer z. Dans D1, on peut dire directement que x=0 mais cela n'arrange pas plus pour une représentation paramétrique.

[invitee4ef379f]

Même si la méthode enseignée dans les cas où la droite est définie comme une intersection de deux plans, tu peux toujours passer par un point de la droite et un vecteur directeur pour trouver une équation paramétrique. Mais il est vrai que ce n'est pas le plus simple.

dans le cas où la droite est définie comme l'intersection de deux plans, la technique enseignée est d'exprimer deux des coordonnées x, y ou z en fonction de la troisième puis de considérer cette troisième coordonée comme égale au paramètre

C'est très simple de le faire dans le cas de D2. Tu as toi même trouvé que tu pouvais exprimer x et z en fonction de y. Il ne te reste donc plus qu'à écrire y=t, avec t réel, ce qui donne:



Maintenant si tu préfères 'éliminer' x, il faut poser x = t avec t réel et exprimer y et z en fonction de x. Comment fais-tu cela?

Dans D1, on peut dire directement que x=0 mais cela n'arrange pas plus pour une représentation paramétrique.

Dans le cas de D1, tu n'as pas 36 équations paramétriques possibles, tu n'en as qu'une. Pourquoi poser x = 0? y et z sont fixés, mais x peut varier. C'est donc la seule coordonnée que tu peux prendre comme paramètre. Ce qui donne?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4743cb4]

Pour D1, on a tout simplement {x=t, y=0, z=-4, t réel ?
Et pour D2, si on prend x=t : donc y=2/(3x) = 2/(3t) et z=0.5y donc z=1/(3t) au final on a donc {x=t, y=2/(3t), z=1/(3t), t réel ?

[invitee4ef379f]

Pour D1 c'est juste. Par contre pour D2 l'idée est là mais il va peut être falloir que tu revoies tes calculs...

[invited4743cb4]

Oui, j'ai remarqué, je me suis trompé. C'est plutot y =2t/3 et z=t/3 et finalement on retombe bien sur l'autre système (on a multiplié par 2/3 x, y et z).

[invitee4ef379f]

Bah voilà. Bon courage pour la suite!