La fonction racine carrée au voisinnage de +∞

[inviteaf7e4316]

Bonjour,

La fonction racine carrée est tangente à l'axe des ordonnées y'Oy en 0 et parallèle à l'axe des abscisses x'Ox au voisinage de +∞.

f(x) = √x
f '(x) = 1 / 2√x
Donc lim (x->0+) f '(x) = +∞
Donc au voisinage de 0, la dérivée tend vers l'infini
Or la dérivée en un point est égale au coefficient directeur de la tangente a la courbe en ce point
D'où a = +∞
Donc tanα = +∞ (avec α l'angle formée entre la droite et x'Ox)
Alors α = 90° => √x est tangente a y'Oy en x=0

Mais ce que je n'arrive pas a trouver c'est pourquoi la fonction est parallèle à l'axe des abscisses x'Ox au voisinage de +∞ ?

MERCI pour toute aide
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[Titiou64]

bonjour,

quand tu fais tendre x vers l'infini dans f'(x) tu trouves 0. Donc la tangente de l'angle vaut 0 et l'angle vaut 0.
Donc la fonction est parallèle à l'axe x'0x

[Médiat]

Bonjour,

Je n'aime pas beaucoup l'expression "la fonction est parallèle à l'axe des abscisses x'Ox au voisinage de +∞ " puisqu'en aucun point de la courbe, sa tangente n'est parallèle à l'axe des abscisses, alors qu'au point 0 la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées.

Vous pouvez constater que la dérivée tend vers 0 quand x tend vers +∞, ce qui "justifie" sans doute l'expression "parallèle".

Je préfère l'expression "direction asymptotique" au lieu de parallèle dans ce cas (puisque +∞ n'est pas un réel).

PS. Quand le calcul est en contradiction avec l'intuition, je remodèle mon intuition

[inviteaf7e4316]

Ahh j'avais pas penser !

Donc Cf admet une direction asymptotique de direction l'axe des abscisses !

On pourrait aussi bien penser a l'asymptote oblique, est-ce correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

La fonction définie par f(x) = 2x -1 + 1/x
admet une asymptote oblique définie par g(x) = 2x - 1, ce qui se vérifie car la limite de f(x) - g(x) est égale à 0 quand x tend vers l'infini.

La fonction admet la direction asymptotique définie par la fonction g(x) = 2x (ce qui s'obtient en calculant la lim de f(x)/x quand x tend vers l'infini, et ici on trouve 2), par contre elle n'admet pas d'asymptote car la limite de f(x) - 2x quand x tend vers l'infini n'est pas un réel.