Décomposition en fractions simples

[invited03209ae]

Bonjour

Je comprends pas pourquoi ma décomposition est fausse : 1/(x²*(x-1)) = (A/x) + (Bx+C)/x² + D/(x-1)

merci pour vos réponses
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[gg0]

Bonjour.

Elle n'est pas "fausse", mais inutilisable car il existe une infinité de valeurs de A. En fait, le terme en A/x ne sert à rien, mais une fois B, C et D déterminés (en prenant A=0), tu trouveras que (Bx+C)/(x²)=B/x+C/(x²).
Tu peux aussi applique correctement la théorie et poser comme d'habitude 1/(x²*(x-1)) = (A/x) + B/x² + C/(x-1)

Cordialement.

NB : Revois un cours pour comprendre ce qui se passe.

[invited03209ae]

oui mais n'ai pas beaucoup de théorie sur mon cours, le prof n a pas beaucoup insisté. En faite c est la multiplicité qui m a posé problème. Je dois pas respecter la multiplicité ?

[gg0]

En fait,

la théorie de la décomposition en éléments simples (que tu peux trouver sur le web) repose sur deux idées :
1) Si A/(BC) est une fraction rationnelle avec A, B et C polynômes, et si
* deg(A°<deg(BC)
* B et C n'ont aucun polynôme de degré au mojns égal à 1 qui soit diviseur commun (leur PGCD est de degré 0)
Alors A/(BC)=E/B+F/C où E et F sont des polynômes et deg(E)<deg(B) et deg(F)<deg(C)

2) Si A/(Bⁿ) vérifie deg(A)<deg(Bⁿ) alors par une simple division, A/(Bⁿ)=C/B+D/B²+...+R/Bⁿ où dans chaque fraction le degré du numérateur est inférieur à celui de B.

Appliqué à ton cas, on décompose donc en deux fractions (ax+b)x²+c/(x-1), puis on fait la division par x de ax+b (ou on décompose en deux fractions : (ax+b)x²=ax/x²+b/x²=a/x+b/x²

En utilisant raisonnablement ton intelligence pour comprendre les idées, tu devrais mieux comprendre et vite savoir faire.

Cordialement.

NB : De cette façon, la décomposition est unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited03209ae]

okiiii est ce que c 'est juste de dire que x²= (x-0)²?

ce qui implique A/x + B(x-0)² et on a bien notre polynome du numérateur de degrés nul

[gg0]

Oui,

x est un cas particulier de binôme ax+b, ou de facteur (x-a). Il semble qu'il n'y a pas besoin d'un gros niveau en maths pour savoir si x²= (x-0)².
Donc ne te fixe pas trop sur les écritures, mais plus sur les significations.

Cordialement.