Equations dans N

[inviteafc1e92d]

Bonjour/soir,

Voici deux petits exercices sur le thème des équations à résoudre dans .

Résoudre dans les équations suivantes :

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(1) Cette équation est déjà en forme avec son produit et, cause de sa symétrie,
on peut affirmer que pour chaque couple de solution , on aura aussi la solution associée .

Pour satisfaire cette égalité, les "combinaisons" possibles de couples sont :
(1;18), (2;9), (3;6), (6;3), (9;3) et (18;1).
Pour déterminer les couples il reste à résoudre les équations :



L'ensemble des solutions de cette équation est :

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(2) Pour résoudre cette équation, il faut transformer en produit le membre de gauche :

Pour déterminer l'ensemble des solutions, on doit résoudre le système :

Le couple solution de système est celui de l'équation :

Je pense que c'est ok, mais merci beaucoup pour une vérification.
Une question tout de même : le nombre de couple qui vérifient (1) est 6, mais je vois pas comment,
à l'aide d'un raisonnement de dénombrement, calculer ce nombre à partir de : ?
J'espère que la question est claire ?

@+
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[inviteb9469e86]

Ta façon de raisonner ne me convient pas,
(x - 6) (y - 6) = 18 donc x - 6 est un diviseur de 18
donc
x - 6 = 1 et y - 6 = 18
x - 6 = 2 et y - 6 = 9
x - 6 = 3 et y - 6 = 6
x - 6 = 6 et y - 6 = 9
x - 6 = 9 et y - 6 = 2
x - 6 = 18 et y - 6 = 1
d'où les 6 couples solutions correspondant aux 6 diviseurs positifs de N
Si tu veux utiliser la symétrie de l'équation, tu aurais pu te limiter à rechercher les couples (x , y) avec x =< y

Pour le second exercice,
(x + y - 7) ( x - y + 7) = 21 donc x + y - 7 est un diviseur de 21
x + y - 7 = 1 et x - y + 7 = 21 donc 2 x = 22 soit x = 11 et y = - 3
x + y - 7 = 3 et x - y + 7 = 7 donc 2 x = 10 soit x = 5 et y = 5
x + y - 7 = 7 et x - y + 7 = 3 donc 2 x = 10 soit x = 5 et y = 9
x + y - 7 = 21 et x - y + 7 = 1 donc 2 x = 22 soit x = 11 et y = 17

Il existe une règle qui donne le nombre de diviseurs positifs d'un nombre suivant sa décomposition en produit de facteur premiers
18 = 2 * 3 ² donc le nombre de diviseurs positifs de 18 est (1 + 1) * (2 + 1) soit 6 mais cela ne te donne pas le nombre exact de solutions voir exercice 2

[inviteafc1e92d]

Merci bcp pour ta réponse avec la correction
La bourde, c'est vrai que j'ai oublié le 1 dans la décomposition du (2) : .
De toute façon, je n'aurais pas pensé à permuter/commuter les produits.
C'est bien pour celà que je ne trouve qu'une solution !

@+