Démonstration de : lim (1+ 1/x)^x en l'infini = e^x

[invited4743cb4]

Bonjour,
je me demandais comment démontrer cette égalité et j'ai trouvé ce qui suit :

Pour tout x de R+ -{0} : 1+ 1/x > 0
donc (1+ 1/x)^x = e^{x.ln(1+ 1/x)}

or lim_x-->+inf x.ln(1+ 1/x)= lim_y-->1 ln(y)/ (y-1) = ln'(1) = 1

finalement : lim_x-->+inf e^{x.ln(1+ 1/x)} = lim_k-->1 e^k = e¹ = e

Voilà donc ce que j'ai fait, mais est-ce bien démontré (rigoureux) ? Et y a t il d'autres manières plus rapides/élégantes pour démontrer ce résultat ?

Sinon, je sais que "e" peut être exprimé comme la limite d'autres expressions (une sommation notamment), pourriez vous me dire lesquelles et si possible la démonstration qui va avec ?

Merci d'avance
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[invite51d17075]

tu trouves e à la fin et pas e^x....?
et j'ai du mal à te lire.
commence par transformer les formulations et ensuite passe aux limites ..

[invite51d17075]

ceci dit,
je trouve e plus pertinent que e^x !!

[invited4743cb4]

grosse erreur de ma part !!!
C'est effectivement e que je cherchais... Bien sûr si dès l'égalité à démontrer je fais une erreur, ça n'aide pas

[A voir en vidéo sur Futura]