Raisonement par Récurrence

[invitef26f4a84]

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon problème :

Il faut émettre une conjecture sur la somme des mesures, en radians, des angles d'un polygone convexe de n côtés. J'ai trouvé que Un=(n-2)*pi.

Ensuite il demande de démontrer se résultat par récurrence.

Pas de problème pour l'initialisation ni pour l'hypothèse de récurrence mais c'est lors du passage au calcul que je bloque voici se que commence mais je n'arrive pas à le terminer

Au rang (n+1) on a (n-2)*pi (on injecte l'hypothèse)
Comment arriver à Un+1 = (n-1)*pi ?

Merci d'avance pour vos futures réponses, cordialement.
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[invite332de63a]

Bonjour, tu prends un polygone convexe à n+1 cotés avec n>2. Alors on note ses sommets, alors est un polygone convexe. Vois-tu comment le montrer? Enfin cela semble évident. Vois-tu comment réussir à revenir à avec ceci?

RoBeRTo

[invitef26f4a84]

Merci pour la rapidité de ta réponse, donc je dois procédé ainsi si j'ai bien compris.

A1 + A2 +...+ An+ An+1= on injecte l'hypothèse (n-1)*pi

Après je remplace (n-2)*pi + (n+1) C'est cela ?

[invitef26f4a84]

J'essaie d'appliqué mais je trouve des résulats inchohérents..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Merci pour la rapidité de ta réponse, donc je dois procédé ainsi si j'ai bien compris.

A1 + A2 +...+ An+ An+1= on injecte l'hypothèse (n-1)*pi

Après je remplace (n-2)*pi + (n+1) C'est cela ?

cela ne veut rien dire ... Si je parle de , cela veut dire quelque chose, c'est le polygone de sommet dans cet ordre.

Je t'aide, fait un dessin, représente un pentagone convexe et ABCDE (ou pour coller avec les notations précédentes ) et représente les deux polygone ABCD et DEA. Peut tu déduire de la somme des angles de chacun celle du pentagone ABCDE ?

[invite39e93262]

Il n'y a as besoin de récurrence dans ce cas.Il suffit de se rappeler que la mesure d'un angle inscrit = la moitié de celle de l'arc intercepé.

[invitef26f4a84]

Oui, on ajoute la somme des angles du triangle DEA au quadrilatère ABCD.
Mais je ne vois pas comment transformer cela en raisonnement par récurrence, là est ma question...

[invite332de63a]

Ben alors si l'on connait la somme des angles de et celle de , peut on en déduire celle de ? Alors tu remplace la somme des angles de par et l'autre grâce à ton hypothèse de récurrence et tu peux conclure.