problème récurrence

[invitec10fd4f4]

Bonjour j'ai un dm à faire auquel je ne trouve pas réponse :

je dois démontrer par récurrence que pour tout entier n>=1 on a "u(n)-racine(2)<= ((1/2)^(2n))*(u(0)-racine(2)"
c'est la fameuse formule de héron

Sachant que on a une question avant qui nous indique que u(n+1)=1/2(u(n)+2/(u(n)) et qu'on a prouvé que pour tout n>=1 u(n)>=2

Je vous remercie d'avance si dans la mesure du possible vous pouvez me trouver une bonne amorce ou alors un développement plutôt détaillé de ce raisonnement par récurrence j'en serais fort heureux.
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[invitec10fd4f4]

j'aimerais juste une amorce de démonstration svp je sais que c'est pas facile ça fait 2h je planche dessus mais je sais vraiment pas vers où partir donc juste un début une piste ou quelque chose pourrait me suffire plz

[invite51d17075]

bjr,
ça se fait bien par recurrence.
commences par u(n+1) -rac(2) que tu peux développer avec u(n+1) en fonction de u(n)
au final cherches un truc du genre
u(n+1)-rac(2)=(u(n)-rac(2))*bidulle.
il reste à montrer que bidulle <= 1/4

[invitec10fd4f4]

ba en développant u(n+1)-racine(2) je trouve 1/2((u(n)-racine(2))²/u(n))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec10fd4f4]

arf mais y'a un problème car si je développe ce que j'ai trouvé j'ai u(n+1)-racine(2)=(u(n)-racine(2))*((2-racine(2))/(2racine(2)))
or (2-racine(2))/(2racine(2)) ne fait pas 1/4 donc ça marche pas...

[invite51d17075]

je ne trouve pas comme toi.
u(n+1)=(1/2)u(n)+1/u(n)
u(n+1)-rac(2)=(1/2)u(n)+1/u(n)-rac(2)
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u(n)-2/u(n))
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u²(n)-2)/u(n)
le second terme est en a²-b² soit (a-b)*(a+b)
on peut donc mettre (u(n)-rac(2)) en facteur.
et au final =( u(n)-rac(2))(1/2-1/rac(2)*u(n))
il suffit que le second terme soit <= 1/4 ( et non pas égal )
or u(n)>=2 !

[invitec10fd4f4]

je comprends pas comment tu arrives à partir de :

u(n+1)-rac(2)=(1/2)u(n)+1/u(n)-rac(2)

à retrouver ça :
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u(n)-2/u(n))
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u²(n)-2)/u(n)

[invite51d17075]

en fait il y a une erreur dans l'énoncé car (1/2)^(2n) tend vers 0
ce qui est incompatible avec u(n)>=2

[invite51d17075]

re me répète,
mon post #6 est OK sauf les 2 dernières ligne.
en fait on peut juste montrer que le terme est <= 1/2,
donc j'ai trois questions
quel est U0 ? sinon on ne peut pas démarer la demo par recurrence
l'inequation n'est elle pas (Un-rac(2))<=(1/2)^n(U0-rac(2)) ( et non pas (1/2)^(2n)..)
ce n'est pas U(n)>2 ( pas possible ) , n'est ce pas U(n)>rac(2) ?

[invitec10fd4f4]

Si ta raison j'ai mal lu en réalité c'est (Un-rac(2))<=(1/2)^2^n(U0-rac(2)) j'avais mal lu -_- et u(0) on le connais pas on sait juste qu'il est >0 car c'est une longueur

[invite51d17075]

je me repète donc :

.
u(n+1)=(1/2)u(n)+1/u(n)
u(n+1)-rac(2)=(1/2)u(n)+1/u(n)-rac(2)
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u(n)-2/u(n))
=u(n)-rac(2) -(1/2)(u²(n)-2)/u(n)
le second terme est en a²-b² soit (a-b)*(a+b)
on peut donc mettre (u(n)-rac(2)) en facteur.
et au final =( u(n)-rac(2))(1/2-1/rac(2)*u(n))
il suffit que le second terme soit <= 1/2

initialisation
U1=U0/2+1/U0 donc U1>0 et
U1-rac(2) = U0/2+1/U0-rac(2) =( U0-rac(2)) -U0/2 +1/U0
cela ne suffit pas pour initialiser la recurrence, il manque encore un indice concernant U0 ou Un et ce n'est pas Un>=2 comme je te l'ai dit

ensuite on a
et au final U(n+1)-rac(2) =(Un-rac(2)*( 1/2- a) avec a>0
donc U(n+1)-rac(2) <(Un-rac(2))( 1/2) ce que l'on cherchait

[invitec10fd4f4]

ok ba merci bien pour ton aide je pense pouvoir me débrouiller avec ça puis mon autre pote devrait avoir d'autre chose pour m'aider aussi