Démonstration. Limite unique d'une suite.

[invitec4244b24]

Comment démontrer l'énoncé suivant?

"Si elle existe, la limite d'une suite est unique"?

J'ai vraiment besoin d'aide. Pas de "Oh, c'est facile!"
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[dodo71]

Bonjour,
pour tout ε>0, il existe n0(c'est le "a un certain rang de la definition) appartenant à N(ensemble des entiers naturels) telque pour tout n ≥ n0, |Un-l|≤ ε

Ainsi maintenant tu suppose qu'une suite (Un) admet deux limites l et l' avec l différent de l'

il existe donca tel que l<a<l'
l appartient donc à ]-∞,a[ donc: il existe n0 appartenant à N telque pour tout n ≥ n0 Un appartient à ]-∞,a[

Peut etre il y a plus simple mais je vois pas la
l' appartient à ]a,+∞[ donc il existe un n1 appartenant à N telque pour tout n≥n1 Un appartient à ]a,+∞[
Celà est donc impossible donc l différent de l' est impossible donc l=l' donc la limite est unique

[PlaneteF]

Autre démonstration :

Soient et 2 limites de la suite. D'après la définition donnée par dodo71 :

et

En additionnant ces 2 inégalités on obtient : , et d'après l'inégalité triangulaire il vient :

pouvant être choisie comme voulu, posons : , donc , et finalement

[dodo71]

Ha merci PlaneteF il me venait a l'esprit une autre démonstration "plus simple" pendant que je faisait "la mienne" et voilà que tu la poste

[A voir en vidéo sur Futura]