Démonstration. Limite unique d'une suite.
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Démonstration. Limite unique d'une suite.



  1. #1
    invitec4244b24

    Démonstration. Limite unique d'une suite.


    ------

    Comment démontrer l'énoncé suivant?

    "Si elle existe, la limite d'une suite est unique"?

    J'ai vraiment besoin d'aide. Pas de "Oh, c'est facile!"

    -----

  2. #2
    invite397ab838

    Re : Démonstration. Limite unique d'une suite.

    Bonjour,
    pour tout ε>0, il existe n0(c'est le "a un certain rang de la definition) appartenant à N(ensemble des entiers naturels) telque pour tout n ≥ n0, |Un-l|≤ ε

    Ainsi maintenant tu suppose qu'une suite (Un) admet deux limites l et l' avec l différent de l'

    il existe donca tel que l<a<l'
    l appartient donc à ]-∞,a[ donc: il existe n0 appartenant à N telque pour tout n ≥ n0 Un appartient à ]-∞,a[

    Peut etre il y a plus simple mais je vois pas la
    l' appartient à ]a,+∞[ donc il existe un n1 appartenant à N telque pour tout n≥n1 Un appartient à ]a,+∞[
    Celà est donc impossible donc l différent de l' est impossible donc l=l' donc la limite est unique

  3. #3
    PlaneteF

    Re : Démonstration. Limite unique d'une suite.

    Autre démonstration :

    Soient et 2 limites de la suite. D'après la définition donnée par dodo71 :

    et

    En additionnant ces 2 inégalités on obtient : , et d'après l'inégalité triangulaire il vient :

    pouvant être choisie comme voulu, posons : , donc , et finalement
    Dernière modification par PlaneteF ; 17/09/2012 à 13h14.

  4. #4
    invite397ab838

    Re : Démonstration. Limite unique d'une suite.

    Ha merci PlaneteF il me venait a l'esprit une autre démonstration "plus simple" pendant que je faisait "la mienne" et voilà que tu la poste

  5. A voir en vidéo sur Futura

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