Problème (insoluble ?) à résoudre sur les combinaisons...

[invitef928f00d]

Bonjour.
Je vous soumets un problème pour lequel je n'ai pas de réponse.
Je choisi par exemple 4 nombres parmi un groupe de nombres numéroté de 1 à 20. Le nombre total de combinaisons est de C(4;20)= 4 845. Chaque combinaison a un total qui est égal à la somme (S) des nombres qui le composent.
Exemple: 1-2-3-4= 10 ; 1-2-3-5=11 ; 1-2-3-6=12 ; etc...
Je voudrais connaître pour une somme donnée (S)
- le nombre de combinaisons correspondantes ;
- toutes les combinaisons dont la somme est égale à (S).
Exemple:
Pour S=10, il y a une combinaison: 1-2-3-4
Pour S=14, il y a deux combinaisons: 1-2-3-8 et 2-3-4-5

Existe-t-il une formule, ou un théorème me permettant d'obtenir immédiatement mes réponses. Peut-on généraliser (avec n parmi N) ?
J'ai remarqué qu'il y avait des séries (de 4), et que la représentation graphique quantité/ sommes (S) suivaient une courbe de Gauss avec pour médiane la valeur moyenne, mais je n'ai pas pu aller plus loin.
Merci pour votre aide.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez chercher sur le net "Partition d'un entier" ou "integer partition" en anglais.

[invitef928f00d]

Merci pour cette réponse. Je fais la recherche, et vous en tiens informé.

[invitef928f00d]

Bon recherche faite, il me semble que tout ceci est vraiment compliqué et n'est pas du tout du niveau de terminale...(donc je me serai trompé de rubrique - désolé)
Je ne suis pas mathématicien, mais si j'ai bien compris la définition sur Wiki, un premier élément de réponse serait de raisonner "à l'envers", c'est à dire:
1- de lister toutes les sommes comprises entre 10 (1+2+3+4=10) et 74 (17+18+19+20=74) ;
2- de "partitionner" chaque entier de cette liste
3- d'exclure toutes les combinaisons différentes de 4 pour ne conserver uniquement que les combinaisons à 4 chiffres ?
Me trompe-je dans mon raisonnement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef928f00d]

La fonction P de Ken Ono serait-elle la réponse à ma question ?

[Jon83]

Bonjour à tous!

Par curiosité, quelles sont les applications pratiques d'une telle décomposition?

[invitef928f00d]

Bonsoir.
A priori aucune application particulière, simplement par curiosité intellectuelle. Cela fait longtemps que ce truc me trottait dans la tête. Et surtout pour éviter des calculs "infernaux" s'il n'y a aucune réponse, et que l'on doit faire des tableaux/calculs à la main.
Je vous remercie néanmoins à vous intéresser à ce sujet.

[invitef928f00d]

Bonjour.
Jon83, cela pourrait s'appliquer comme application pratique pour l'optimisation d'un conditionnement d'articles différents. Par exemple, j'ai une caisse qui contient au max 50 kg, et j'ai plusieurs articles de poids différents à expédier.

[Médiat]

Bonjour.
Jon83, cela pourrait s'appliquer comme application pratique pour l'optimisation d'un conditionnement d'articles différents. Par exemple, j'ai une caisse qui contient au max 50 kg, et j'ai plusieurs articles de poids différents à expédier.

Bonjour,

Dans ce cas il vaudrait mieux regarder le problème et l'algorithme "du sac à dos" (knapsack en anglais), ce n'est pas insoluble, mais c'est NP-complet.

[invitef928f00d]

Bonjour, Mediat.
Votre aide a été TRES IMPORTANTE car j'ai pu trouver sur la base des mots clefs une application développée sur Excel qui permet de répondre exactement au problème posé, et avec des temps de calculs très rapides. Si cela intéresse quelqu'un, je peux communiquer le lien.

[Jon83]

Bonjour.
Jon83, cela pourrait s'appliquer comme application pratique pour l'optimisation d'un conditionnement d'articles différents. Par exemple, j'ai une caisse qui contient au max 50 kg, et j'ai plusieurs articles de poids différents à expédier.

Merci pour cet exemple. De mon coté, je me demande si ce n'est pas applicable aux jeux, type loto? Par exemple, les statistiques du loto national montrent que dans environ 3% des tirages la somme des nombres de chaque tirage est comprise entre 130 et 149. Il serait alors possible de lister toutes les combinaisons vérifiant cette condition?

[invitef928f00d]

Oui sur le principe, et sur un plan strictement théorique, cela me semblerait en effet applicable à un système de jeu par tirage sans remise. Cependant, sur un système de loto de type 5/49, on a au départ 2,118 millions de combinaisons. Si l'on décide de "cibler" un échantillon de 3% par exemple, cela représente tout de même près de 65000 combinaisons possibles. Cela diminue de façon très importante - mathématiquement parlant - le nombre de combinaisons, et donc augmente la probabilité de gain, mais cela me semble impossible à réaliser sur un plan pratique. D'autant plus que les tirages sont aléatoires, et qu'on est donc dans un avenir totalement incertain. Et puis, qui peut être capable de miser près de 700KE (65000x2 E) sur un échantillon de 3% ?

[danyvio]

Et puis, qui peut être capable de miser près de 700KE (65000x2 E) sur un échantillon de 3% ?

Moi, mais pas toutes les semaines

[invitef928f00d]

Je comprends que c'est pas pratique de se balader avec 13000 tickets (soit l'équivalent de 13 ramettes de papier A5). C'est volumineux, et ça fait son poids...