Implication réciproque.

[invitef6cd3de0]

Bonjour,

Notre professeur nous a donné un exercice de dm à faire mais je ne comprend pas du tout, je suis en seconde et nous n’avons vu cela, donc je post ici espérant que vous pourriez m'aidé :

A. g est la fonction trinôme définie par :
g(x) = mx^2+4x+4 ( m différent de 0 ).

1. Parmi ces implications, lesquelles sont vraies ?
a) "m = 2 " => " pour tout x, g(x) >0"
b)"m < 0 " => " L'équation g(x) = 0 a deux solutions distinctes ".
c)"le trinôme g(x) a deux racines distintes." => " m < 0 ".

2. L'implication c) est la réciproque de b). Ces propositions sont-elles équivalentes ?
B. On donne l'implication : " ax^2+bx+c = 0 a deux solutions distinctes" => " a et c sont de signes contraires".
Cette implication est-elle vraie ? Sa réciproque est-elle vraie ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[invite8d4af10e]

Bonjour
il faudra calculer Delta et distinguer les cas .

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Il me semble que le discriminant n'est pas au programme de seconde...

1.a. En remplaçant m par 2, on fait apparaître une expression qui est facilement factorisable par 2 puis on voit entre parenthèses le début d'un carré.
Il suffit donc de le faire apparaître (sans faire n'importe quoi) puis de conclure.
b. et c. je suis perplexe sans l'utilisation du discriminant... On va dire que cela faciliterait grandement les choses en tout cas.

Duke.

[invitef6cd3de0]

Je connais la leçon du discriminant, la factorisation avec le discrimant, le tableau de signe et tout, c'est la première chose que l'on a fait à mon début de seconde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Ah bon, ben c'est une bonne nouvelle alors

Il te suffit de l'appliquer correctement.

Duke.

EDIT : Il te faudra exprimer le discriminant en fonction de m.

[invitef6cd3de0]

Donc je calcul le Delta de g(x) et je trouve si c'est > 0, <0 ou = à 0 ?

[Duke Alchemist]

C'est l'idée mais fais bien attention à ce qui t'est demandé.

Quel est le lien entre le calcul (le signe notamment) du discriminant et le signe de la fonction ?
Une fois que tu auras saisi cela, tu auras fait un grand pas (pour toi dans un premier temps, pour l'humanité par la suite... )

Duke.

[invitef6cd3de0]

Je comprend plus rien , je suis perdu ^^'

[Duke Alchemist]

Re-

Reprenons tranquillement. Puisque tu connais le discriminant, tu peux au :
1.a. Calcule le discriminant. Qu'en déduis-tu ?

Duke.

[invitef6cd3de0]

J'en déduis que m = 0 est qu'il y a 1 seul solution qui est -2.

[invitef6cd3de0]

En admettant que m = 1

[Duke Alchemist]

Pour le 1.a. m=2 donc il faut calculer le discriminant avec m=2 et donc il ne pas valoir 0...

Duke.

[invitef6cd3de0]

Je trouve delta = -16 donc aucune solution.

[Duke Alchemist]

OK.

Qu'en conclus-tu ?
Et le signe du polynôme ?

Duke.

[invitef6cd3de0]

Que l'implication est fausse.

[Duke Alchemist]

Si le discriminant est négatif, cela signifie que ton polynôme n'a aucune solution et son signe est donc ici ...

[invitef6cd3de0]

C'est bon j'ai réussi en entier à la faire et je l'ai rendu, désolé pour ce long moment sans réponse, mais surtout merci pour votre aide car sinon je n'y serais jamais arriver ^^

[invited3a27037]

Il est possible de faire l'exo sans le discriminant.

1a
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m=2
g(x) = 2x²+4x+4 = 2(x²+2x+2) = 2((x+1)²+1)
donc pour tout x, g(x) > 0

1b
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g(0) = 4 > 0
m<0 donc c'est une parabole la "tête" en haut, donc les deux branches vers le bas, donc les 2 branches coupent forcément l'axe des x. L'équation g(x) = 0 a deux solutions distinctes.

1c
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On a vu que g(0)=4 >0
si m est positif alors c'est une parabole la "tête" en bas, branches en haut, donc qui ne croise pas l'axe des x
donc si g(x)=0 a deux solutions c'est que m < 0 (m=0 est exclu par l'énoncé)

2

propositions eq:
si A=>B et B=> A, c'est bien que A<=>B

" ax^2+bx+c = 0 a deux solutions distinctes" => " a et c sont de signes contraires".
non: exemple (x-1)(x-2) a 2 racines 1 et 2 de même signe


" a et c sont de signes contraires" => f(x) = ax^2+bx+c = 0 a deux solutions distinctes"
oui

si c >0 et a <0, f(0) = c > 0 et parabole tête en haut -> 2 racines
si c<0 et a>0, f(0) = c < 0, et parabole tête en bas => 2 racines