Bonjour, j'ai un DM de maths pour la rentrée et j'ai un peu de mal. Voici l'énoncé et ce que j'ai fait.
L'énoncé:
Dans une ville de 10 000 habitants à 8 heures du matin, 100 personnes apprennent la nouvelle. Une heure plus tard ce sont 250 personnes en tout qui la connaissent. On note P(n) le nombre de personnes connaissant la nouvelle n heures après 8 heures.
On propose différents modèles:
- Modèle 1: On adopte l'hypothèse que le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel à P(n).
- Modèle 2: On adopte l'hypothèse que le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel au nombre de personnes qui ne sont au courant de rien.
- Modèle 3: On choisit un modèle logistique où P(n)= (10 000)/(99q^n+1) avec q= 39/99
Rédiger un comparatif de ces trois modèles.
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Ce que j'ai fait:
On note:
-Soit P(0) le nombre de personnes au courant de la nouvelle à 8h
-Soit P(n) le nombre de personnes au courant de la nouvelle à (8+n) h
Pour le Modèle 1:
La traduction mathématique de : "le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel à P(n)." est :
P(n+1) = k.P(n) avec k une constante à déterminer (à partir de P(0) = 100 et P(1) = 250)
P(1) = k.P(0)
250 = k.100
k = 2,5
---> P(n+1) = 2,5.P(n) avec P(0) = 100
C'est donc une suite géométrique de raison 2,5 et de premier terme = 100, on a donc : P(n) = 100 * 2,5^n
Pour le Modèle 2:
On note:
-Soit P(0) le nombre de personnes au courant de la nouvelle à 8h
-Soit P(n) le nombre de personnes qui ne sont pas au courant de la nouvelle à (8+n) h
La traduction mathématique de : "le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l'intervalle de temps [n;n+1] est proportionnel au nombre de personnes qui sont au courant de rien." est:
P(n+1)=k.[10 000-P(n)]
P(1)= k.[10 000 -P(0)] avec P(1)=250 et P(0)=100
250 = k.9900 (Car c'est le nombre de personnes touchées par la rumeur qui est proportionnel au nombre de personnes qui sont au courant de rien.)
donc k=250/9900 k=5/198
--> P(n+1)=5/198.[10 000 - P(n)] avec P(0)=100
Et après je suis coincée. Je n'arrive pas à déduire P(n)
Et qu'entend-il par "un comparatif"? est-ce qu'il faut étudier les limites et le sens de variation?
Dans ce cas là, pour le modèle 1 : P(n)=100.2,5n
lim P(n)= + infini quand n tend vers + infini et P(n) est strictement croissante.
Merci de m'aider
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