Terminale S : Exercice type bac suites

[invitefef7ef6c]

Bonjour à tous,
alors voila j'ai un petit soucis sur un exercice type Bac à faire.
Voila le sujet :

On définit: .la suite (Un) par Uo=13 et Un+1= 1/5Un + 4/5
.la suite (Sn) pour tout entier naturel n : Sn=ΣUk

1.Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n : Un=1 + 12/5^n
En déduire la limite de la suite (Un)

2.a.Déterminer le sens de variation de la suite (Sn)
b.Calculer Sn en fonction de n
c.Déterminer la limite de la suite (Sn)

Où j'en suis :

J'ai déjà fait la récurrence et déduit que la limite de (Un) était 1 mais je bloque completement pour les questions 2.a et b.
J'ai essayé Sn+1-Sn=Un+1-Un mais je tombe sur un résultat complétement improbable.


Je requière donc votre aide pour la fin de cet exercice,
Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

"Sn+1-Sn=Un+1-Un" est faux. Calcule S3-S2 sans remplacer les Un.

Pour le b, écris ta somme comme deux sommes simples.

Bon travail !

[invitefef7ef6c]

Tout d'abord merci pour ta réponse, mais je ne comprend pas comment je peux calculer S3-S2 sans changer les Un, peux tu être plus précis ?

[jamo]

mais pourquoi calculer Sn+1-Sn , tu as Un en fonction de n que tu as démontré par récurrence .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Sn=ΣUk (avec l'écriture de ton énoncé, qui est plus précise).
Sans remplacer U1, U2 et U3 par leurs valeurs, calcule S2 et S3.

Si tu n'y arrives pas, ça veut dire que tu n'as pas compris l'énoncé. Par exemple la signification de Σ.

[invitefef7ef6c]

Ah d'accord, mais une question, ne vaut il pas mieux faire S(n+1)-S(n)=U(n+1) et démontrer que U(n+1) > 0 ? Si oui il faudrai montrer que U(n+1) > 0 pour tout n par recurrence ?

[jamo]

j’étais au déjà au 2)b ,désolé . dans ce cas fais ce que t'as dit Gg0

[invitefef7ef6c]

C'est bon j'ai compris ou voulais en venir gg0 ! Maintenant par contre je suis complétement bloquer pour le 2.b) et n'ai aucune idée de la manière d'y réponde

[jamo]

tu as Un=1 + 12/5^n , peux tu écrire la somme pour les 2 premiers et le dernier termes ?

[gg0]

oui,

développe ta somme sans utiliser Σ.

Comme ainsi, sur une somme différente :

[invitefef7ef6c]

Du style ΣUk = U(0) + U(1) + .... + U(k-1) + U(k) ? Et ensuite ?

[gg0]

Remplace les U(i) par leurs valeurs ...

Tu poses la question "et après ?" C'est à toi qu'il faut te la poser. Et il n'y a qu'une façon de faire, tu la fais ...

[invitefef7ef6c]

Ca donne ΣU(k)= 13 + 3.4 + 1.48 + ... + U(k-1) + U(k)
Mais je pose la question car la suite n'étant ni arithmétique ni géométrique je ne vois pas trop ce ou il faut aller par la suite

[jamo]

c'est une manie d'utiliser la calculette , laisse les fractions ça te permettra de voir l'astuce .

[invitefef7ef6c]

Ah oui, c'est pas faux
donc : S(n) = ΣU(k) = 65/5 + 17/5 + .... +(1+12/5^n) ; je vois bien le dénominateur mais je ne vois toujours pas ce que je dois en tirer, je dois être aveugle ou idiot.

[jamo]

il faut utiliser Un=1 + 12/5^n
U1=1+12/5
U2=1+12/5²
tu fais comment pour U1+U2

[gg0]

Spounshere,

tu écris les premiers termes différemment des derniers, du coup tu passes à côté d'une évidence. D'ailleurs, tu as squeezé l'avant dernier terme, que j'avais mis pour de bonnes raisons.

[invitefef7ef6c]

Je vous remercie, je fini sur ce résultat : S(n) = n + 1 + 12 x (5/4)(1-1/5^n+1) = n + 16 - 15/5^n+1

Pouvez vous valider ce résultat ?

[jamo]

il est où le U0 ? car Sn commence par U0 , y a combien de termes ?