exercices sur des suites

[boisdevincennes]

j'ai 2 exercices sur lesquels je bute:
1)
U(n+1)= (2Un+3)/(Un+1) avec Uo = 1 et u1=5/2. cette suite est elle croissante ou décroissante? (en faisant un+1-Un, on tombe sur une suite avec un dénominateur en Un+1 et un autre en U(n-1)+1
Un+1-Un=(2Un+3)/(Un+1)-(2U(n-1)+3)/(U(n-1)+1)
2)
Prouver que U(n+1)=5-4/Un avec U0=2 strictement compris entre 1 et 4 et étudier son sens de variation
La j'ai essayé de prouver par récurrence en calculant Un+2, sans succès. pareil, le dénominateur me pose problème.
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[invite21348749873]

j'ai 2 exercices sur lesquels je bute:
1)
U(n+1)= (2Un+3)/(Un+1) avec Uo = 1 et u1=5/2. cette suite est elle croissante ou décroissante? (en faisant un+1-Un, on tombe sur une suite avec un dénominateur en Un+1 et un autre en U(n-1)+1
Un+1-Un=(2Un+3)/(Un+1)-(2U(n-1)+3)/(U(n-1)+1)
2)
Prouver que U(n+1)=5-4/Un avec U0=2 strictement compris entre 1 et 4 et étudier son sens de variation
La j'ai essayé de prouver par récurrence en calculant Un+2, sans succès. pareil, le dénominateur me pose problème.

Bonjour
Un+1- Un =(-U²n +Un +3)/(Un +1)
Verifiez que cette quantité est toujours positive avec les valeurs de U0 et de U1

[boisdevincennes]

ça sort d'ou ça Un+1- Un =(-U²n +Un +3)/(Un +1)

[PlaneteF]

ça sort d'ou ça Un+1- Un =(-U²n +Un +3)/(Un +1)

En remplaçant tout simplement U_n+1 par son expression en fonction de U_n donnée par l'énoncé !

[A voir en vidéo sur Futura]

[boisdevincennes]

ok j'ai compris. Un+1- Un)=(2Un+3)/(Un+1)-Un= (2Un+3)/(Un+1)-Un(Un+1)/(Un+1)
=3-Un²+Un /(Un+1)
U1-U0=(3-1²+1)/2=3/2
OK. ça marche. et apres? Peut on démontrer que ce bordel est croissant par récurrence?

[boisdevincennes]

on a Un+1-Un=
(3-Un²+Un)/(Un+1)

avec Un+2 :
Un+2-Un+1=(3-U(n+1)²+U(n+1))/(Un+1)=
en remplaçant U(n+1)
(3-((2Un+3)/(Un+1))²+((2Un+3))/(Un+1))/Un+1
bon la je ne suis pas sur d'employer la bonne méthode.

[invite21348749873]

on a Un+1-Un=
(3-Un²+Un)/(Un+1)

avec Un+2 :
Un+2-Un+1=(3-U(n+1)²+U(n+1))/(Un+1)=
en remplaçant U(n+1)
(3-((2Un+3)/(Un+1))²+((2Un+3))/(Un+1))/Un+1
bon la je ne suis pas sur d'employer la bonne méthode.

Tous les Un sont positifs
La quantité -U²n+Un+3 est positive pour Un < (Rac(13)-1)/2
La suite a pour limite la quantité L =rac(3/2)
Vérifiez que L < (rac (13)-1)/2
D'ou la conclusion.

[boisdevincennes]

La quantité -U²n+Un+3 est positive pour Un < (Rac(13)-1)/2
Bon la je comprends que vous avez calculé le binome. Je trouve 2 solutions: (-Rac(13)-1)/-2 et (Rac(13)-1)/-2 mais pas la votre. et que la suite est positive au milieu.
j'ai tracé la petite courbe: http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...e5dd0.38804961
bon apres j'ai du mal a comprendre. la limite vous l'obtenez comment?

[boisdevincennes]

utilisateur arcole vous avez une idée pour le 2eme?

[invite21348749873]

La quantité -U²n+Un+3 est positive pour Un < (Rac(13)-1)/2
Bon la je comprends que vous avez calculé le binome. Je trouve 2 solutions: (-Rac(13)-1)/-2 et (Rac(13)-1)/-2 mais pas la votre. et que la suite est positive au milieu.
j'ai tracé la petite courbe: http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...e5dd0.38804961
bon apres j'ai du mal a comprendre. la limite vous l'obtenez comment?

Vous avez raison la racine positive est (rac(13) +1)/2)
Ca ne change rien
Pour la limite ecrivez que U(n+1)= Un

[boisdevincennes]

Un+1=Un
ça revient à dire qu'on cherche f(x)=x
avec (2x+3)/(x+1)=x
<=> 2x²+2x+3x+3-x²-x=0
x²+4x+3=0 x=-1 ou -3
bon je crois que la aussi c'est faux.
j'y comprends rien. Je vois meme pas pourquoi vous voulez calculez la limite arcole, on demande juste si la suite est positive.

[PlaneteF]

Un indice en passant :

A la question en citation ci-dessous :

cette suite est elle croissante ou décroissante?

Il y a 3 réponses possibles :

1) La suite est croissante ;
2) La suite est décroissante ;
3) La suite n'est pas monotone.

[boisdevincennes]

ça je le sais planetef vous dites une évidence. mais je reste coincé. pour ce qui est de la limite j'ai recalculé.
(2x+3)/(x+1)=x avec x différent de -1.
je trouve 2x²+5x+3=x²+x
x²+4x+3=0 et ça ne marche pas.

[boisdevincennes]

ah non je me suis trompé: 2x+3=x²+x
x²-x-3=0 donc delta=13
x1=(1-racine13)/2 x2=(1+racine13)/2
la je trouve 2 limites?
j'ai tracé la courbe pour etre sur
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...62419.98893175

[PlaneteF]

ça je le sais planetef vous dites une évidence

C'était une façon indirecte de dire "Ne pas s'embarquer à démontrer que la suite est croissante ou décroissante, puisqu'ici la suite n'est ni l'une ni l'autre !".

pour ce qui est de la limite j'ai recalculé.

Tu peux toujours calculer la limite si elle existe, mais cela ne démontre en rien que la suite est convergente.

(2x+3)/(x+1)=x avec x différent de -1.
je trouve 2x²+5x+3=x²+x

Le passage entre ces 2 lignes est faux.

[boisdevincennes]

oui j'ai vu l'erreur et j'ai recalculé:
2x+3=x²+x
x²-x-3=0 donc delta=13
x1=(1-racine13)/2 x2=(1+racine13)/2
ça donne 2 limites c'est pas terrible.
un spécialiste m'a fait remarqué que u(n+1)=2+1/(un+1)
pour le 2) j'ai essayé d'étudier y=5-4/x avec x>2 mais on a une fonction comprise entre 3 et 5 et non pas
1 et 4.

[boisdevincennes]

je pense que la limite que trouve arcole n'est pas bonne car je trouve 2,3 et ça n'a plus l'air de bouger apres quelques termes

[PlaneteF]

x1=(1-racine13)/2 x2=(1+racine13)/2
ça donne 2 limites c'est pas terrible.

Tu sais que la suite (Un) est positive, ce qui exclut la solution négative, ... donc si cette suite est convergente, la limite ne peut-être que

Maintenant il faut démontrer que cette suite est effectivement convergente.

[boisdevincennes]

je vais peut etre vous facher mais comment le saver vous que Un est positive? pour le moment on a une expression de Un+1-Un mais il me semble qu'on n'a rien démontré.
j'avais fait cette courbe pour le montrer http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...e5dd0.38804961
pour la convergence il faut étudier (2x+3)/(x+1) en infini?
c'est ce qui est dit ici on dirait http://www.bac-de-maths.fr/fiches-me...r-sa-limite/77

[invite21348749873]

je pense que la limite que trouve arcole n'est pas bonne car je trouve 2,3 et ça n'a plus l'air de bouger apres quelques termes

Vous avez raison, je me suis encore gourré..
La limite vaut bien (1+rac(13))/2
Il faut prouver que la suite est majorée et comme elle est croissante, cette limite sera bien la sienne.

[invite21348749873]

je vais peut etre vous facher mais comment le saver vous que Un est positive? pour le moment on a une expression de Un+1-Un mais il me semble qu'on n'a rien démontré.
j'avais fait cette courbe pour le montrer http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...e5dd0.38804961
pour la convergence il faut étudier (2x+3)/(x+1) en infini?
c'est ce qui est dit ici on dirait http://www.bac-de-maths.fr/fiches-me...r-sa-limite/77

Ben, le quotient de deux nombres positifs est toujours positif.

[PlaneteF]

comme elle est croissante

Ben non, la suite (Un) n'est justement pas croissante !

Compare U₁, U₃, U₅, U₇... etc

[boisdevincennes]

si elle a une limite et que ses termes sont positifs c'est forcement qu'elle converge vers sa limite non?

[PlaneteF]

si elle a une limite et que ses termes sont positifs c'est forcement qu'elle converge vers sa limite non?

Non, car pour pouvoir dire que la suite a une limite (finie) cela signifie que l'on a déjà démontré qu'elle est convergente !

[boisdevincennes]

et ce qu'on a calculé avant ça s'appelle comment?

[invite21348749873]

Ben non, la suite (Un) n'est justement pas croissante !

Compare U₁, U₃, U₅, U₇... etc

C'est juste.
mais je peux écrire U(n+1) =(2Un +3)/(un+1) <( 3Un +3)/(Un+1) car tous les Un sont positifs
Donc U(n+1) <3 elle est donc majorée et sa limite est celle calculée plus haut.
Est ce exact?

[PlaneteF]

et ce qu'on a calculé avant ça s'appelle comment?

Ce calcul te donne la limite (finie) SI ELLE EXISTE ! ... Mais tu ne sais toujours pas si elle existe puisque tu n'as toujours pas démontré que suite est convergente !

[boisdevincennes]

j'ai trouvé un cours: http://mfritz.perso.sfr.fr/cours/u%2...=f%28un%29.pdf
le spécialiste planeteF a raison: c'est une limite éventuelle. il faut calculer Un+1-Un est prouver que c'est majorée pour dire que c'est une limite.

[PlaneteF]

C'est juste.
mais je peux écrire U(n+1) =(2Un +3)/(un+1) <( 3Un +3)/(Un+1) car tous les Un sont positifs
Donc U(n+1) <3 elle est donc majorée et sa limite est celle calculée plus haut.
Est ce exact?

C'est un peu la même remarque que je viens de faire à boisdevincennes (message#27), tu n'as toujours pas démontré que la suite est convergente !

[PlaneteF]

il faut calculer Un+1-Un est prouver que c'est majorée pour dire que c'est une limite.

Tu ne pourras pas conclure de la sorte, puisqu'une nouvelle fois, la suite (Un) n'est pas croissante !