Bonjour à tous et à toutes, voici un petit problème qui me pose quelques soucis !
Voici l'énoncé :
Histoire : Le physicien Juan M.R. Parrondo est l'inventeur du paradoxe du même nom. Il s'agit d'un jeu relativement complexe que l'on présente comme une
succession de lancers de pièces de monnaies non équilibrées. Il est la combinaison du jeu A, simple lancer d'une pièce n° 1, et du jeu B où on lance
soit la pièce n° 2 soit la n° 3.
Exercice : Dans tout l'exercice e désigne un nombre réel tel que 0<e<1/2
- Jeu A : Le joueur lance une pièce de monnaie où Face est gagnante avec la probabilité P1 = 1/2 - e, le gain est alors d'un euro.
Pile est perdante avec la probabilité 1-P1 = 1/2 + e (gain de -1 euro).
- Jeu B : B est peu plus compliqué, si le capital est multiplié de 3, alors Face gagne avec la probabilité P3 = 3/4 - e,
sinon Face gagne avec la probabilité P2 = 1/10 - e
Partie A : Un joueur joue deux fois au jeu A. Soit Xa la variable aléatoire donnant le gain d'un joueur lorsqu'il joue au jeu A.
1) Décrire par un arbre pondéré l'univers de cette expérience aléatoire.
2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Xa.
3) Calculer E(Xa). Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?
4) Calculer l'écart-type(Xa) puis interpréter.
Donc la 1) je l'ai déjà fait.
Voici ma réponse à la 2) Avec mon professeur nous faisons sous forme de tableau comme ceci :
Xa 2 euros 0 euro -2 euros P(X=xi) 1/2 - e * 1/2 - e
= (e - 0,5)²(1/2 - e * 1/2 + e) + (1/2 - e * 1/2 + e)
= -2(e - 0,5)*(e + 0,5)1/2 + e * 1/2 + e
= (e + 0,5)²
3) E(Xa) = ( 2 * (e - 0,5)² ) + ( -2 * (e + 0,5)² )
E(Xa) = -4e
4) V(Xa) = (x1-m)²*P1 + (x2-m)²*P2 + ... + (xn-m)²*Pn
V(Xa) = ( e - 0,5 )² * ( 2 - (-4e) )² + ( e + 0,5 )² * ( -2 - (-4e) )²
..... et après je sais plus.....
J'aimerai savoir si ce que j'ai fais est juste et si non, me corriger!
Merci beaucoup d'avance.
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