bonjour
voici une question Terminale S
On donne U1=1 et U(n+1) = 1/5*Un + 1/5
1°) Quelle est la nature de cette suite ?
2°) En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.
En principe la nature d'une suite c'est arithmétique ou géométrique, alors qu'ici ni arithmétique ni géométrique.
Si je me rappelle bien, l'énoncé doit nous guider par l'introduction d'une suite auxiliaire qui nous emmène à une suite géométrique, je crois !
Merci pour vos commentaires
Bonjour,
Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique. Tu peux regarder le message#6 du lien ci-dessous, cela répondra à ta question.
http://forums.futura-sciences.com/ma...terminale.html
Dernière modification par PlaneteF ; 03/12/2012 à 11h55.
pour completer un tout petit peu.
une fois la nature de la suite définie comme on le demande.
montrer qu'elle est convergente peut se faire par exemple en montrant
- qu'elle est croissante et bornée supérieurement ou l'inverse
- qu'elle est décroissante de bornée inférieurement.
( je précise que ce n'est bien sur pas le cas de toutes les suites convergentes )
une fois prouvé qu'elle est convergente , alors quand n-> l'inf , alors U(n+1)->u(n)
ce qui te donne immédiatement la limite.
Bonjour
Je n'ai jamais entendu parler d'une suite arithmético-géométrique ( on apprend tous les jours)
Alors Alpha = (1/5)/(1-1/5) = 1/4
On pose Vn=Un-1/4 et V(n+1) U(n+1) -1/4
finalement V(n+1) = 1/5*Vn qui est suit géométique de raison 1/5, Vn=(1/5)^(n-1)
Un= =(1/5)^(n-1) + 1/4
lim(1/5)=0 et limUn=1/4
Je pense qu c'est bon et merci pour tout.
peux tu préciser ce qu'est ALPHA? pour que je puisse te corriger?
je confirme ce qu'a dit PLANETEF: la suite est aritmetico geometrique
Dernière modification par boisdevincennes ; 03/12/2012 à 18h02.
Si tu suis le lien de PlanetF, tu verras quecorrespond au point fixe de l'application
If your method does not solve the problem, change the problem.
JE VOUS AI CORRIGE KADERBEN et je ne trouve pas pareil:
V1=1-1/4=3/4
ALORS VN=3/4*(1/5)^N-1
ET UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4
pour moi tu as tout bon Kaderben
sauf la troisième ligne n'est pas claire ( manque de signe et parenthèses)
et je ne comprend pas ce qu'écrit boisdevincennes.
à part qu'il arrive à la même conclusion car (3/4)*(1/5)^n tend vers 0.
donc la limite est bien 1/4
mais ce qui compte c'est surtout la logique de raisonnement et je pense que tu est bien dedans.
Dernière modification par ansset ; 03/12/2012 à 19h12.
LA REGLE C'EST VN=V1*Q^N-1
ET V1=3/4 SELON MES CALCULS?
ET UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4
C'est un exercice très difficile. PLANETEF jugera.
Il y a un truc qui m'ennuie. Un+1=5-4/UN
pour cet exercice j'ai utilisé Un+1=F(Un) et j'ai démontré que F est croissante pour dire que la suite est monotone et qu'il y a des limites éventuelles ensuite pour borner la suite (c'est le spécialiste PLANETEF qui m'a aidé). Mais avec ALPHA=B/1-A PEUT ON Y ARRIVER?
non, ce n'est pas très difficile,Envoyé par boisdevincennes
d'ailleurs Kaderben a bien compris.
il a juste oublié de démontrer en amont que la suite était convergente, avant de calculer sa limite.
ANSSET ça c'est bon?
LA REGLE C'EST VN=V1*Q^N-1
ET V1=3/4 SELON MES CALCULS?
ET UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4
je ne sais plus ce que tu appelles Vn et Q.
et pourquoi ecris tu plus haut : U(n+1)=5-4/U(n)
or, c'est U(n+1)=(1/5)Un+1/5, en tout cas c'est ce que j'ai compris
à moins qu'on lise 1/(5Un) et ça change tout.
la première question , me semble-t-il ne demandait pas de qualifier la suite d'arithmético-géométrique.
( que le posteur ne connaissait pas )
mais de montrer qu'elle était décroissante et bornée inférieurement ( en supposant que j'ai pris la bonne écriture initiale )
( je crois que tu as pris l'autre alors j'ai un doute )
d'ou elle est convergente.
et si elle l'est alors le point fixe est la limite et vaut 1/4.
( toutes les suite arithmético-géométrique ne sont pas convergentes , et on ne peux utiliser la notion de point fixe qu'àprès avoir montrer que la suite était convergente.
Dernière modification par ansset ; 04/12/2012 à 07h20.
il le démontre mais son calcul est faux utilisateur ANSSET.
Vn=Un-1/4 VN EST UNE SUITE
Q EST LA RAISON
VOUS ME DECEVEZ ANSSET.
remarque inutile et agressive.
je reprend vos notations
Vn=Un-1/4
V(n+1)=U(n+1)-1/4=(1/5)Un+(1/5)-1/4
V(n+1)=(1/5)(Un-1/4)+1/20+1/5-1/4
V(n+1)=(1/5)Vn.
et V(n)=((1/5)^(n-1))V(1)
et V(1)=3/4
et V(n) converge d'ou Un converge vers 1/4
votre demonstration est parfaitement juste.
même si trouvais mon approche plus rapide.
démontrer la convergence très simplement , puis appliquer la notion de point fixe.
vous avez mentionné votre approche deux fois , je ne m'y suis pas opposé
c'est votre message #10 que je comprend pas du tout. ( pourquoi un Un au dénominateur ?)
enfin sur la démo d'origine : mea-culpa, je n'avais pas vu qu'il avait oublier le facteur ( 3/4)
j'ai vu la démarche et le résultat final.....
voilà, j'espère être moins "décevant"
Dernière modification par ansset ; 04/12/2012 à 08h08.
décu car tout spécialiste qui se respecte sait que Q est LA raison d'un suite.
LE 10 C'est un autre exercice et cette question etait pour le spécialiste PLANETEF qui m'avait répondu la dessus.
ANSSET VOS CALCULS SONT COMPLIQUES POUR RIEN:
VN=3/4*(1/5)^N-1 ON SAIT QUE CA CONVERGE VERS 3/4*1/5^0=3/4
ET UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4
AVEC 3/4=1-V1 ET Q LA RAISON 1/5
je ne fais que recopier VOS calculs dans mon mess précedent., en les explicitant. ( c'est exactement la même chose )
et je vois pas en quoi mon approche est compliquée puisque je ne fait appel à aucune autre suite.
c'est quoi ce pinaillage incessant et en majuscule.
enfin , je suis heureux d'appprendre que me mess# 10 était totalement hors sujet !!
bonne journée jeune homme.
Dernière modification par ansset ; 04/12/2012 à 08h20.
Je DIS En 2 lignes ce que vous dites en 7 lignes:
je corrige une petite erreur en passant
VN=3/4*(1/5)^N-1 ON SAIT QUE CA CONVERGE VERS 3/4*0=0 puisque 1/5^N-1 TEND VERS 0 (je m'etais trompé)
UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4 CA CONVERGE VERS 0+1/4=1/4
quesque c'est que ces nouvelles écritures.
je croyais Vn=Un-1/4 donc V1=3/4 et pas V1=1-3/4
et enfin
VN=3/4*(1/5)^N-1 ON SAIT QUE CA CONVERGE VERS 3/4*1/5^0=3/4
faux , ( N-1 converge vers 0 maintenant ??? )
Vn converge vers 0, pas 3/4, et donc Un vers 1/4
et en plus on me remonte les bretelles , c'est limite aggaçant ! ( euphémisme )
********* Langage Inapproprié ********ici c'est corrigé:
VN=3/4*(1/5)^N-1 ON SAIT QUE CA CONVERGE VERS 3/4*0=0 puisque 1/5^(N-1) TEND VERS 0
UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4 CA CONVERGE VERS 0+1/4=1/4
Dernière modification par Médiat ; 04/12/2012 à 13h58. Motif: Merci de rester correct et respectueux, avec tous les intervenants
m'enfin , et ce sera ma dernière intervention.
vous semblé être excéder par le moindre détail des autres ( l'oubli du 3/4 dans la première demo du posteur )
puis ma reprise ( trop détaillée pour vous ) de votre approche, justement pour la valider totalement.
et d'un autre coté être totalement offusqué par la moindre remarque.
c'est pour moi un comportement qui ne facilite ni la confiance , ni le dialogue.
VOUS AVEZ RAISON ANSSET JE M'EXCUSE. Mais on s'en moque de démontrer que VN CONVERGE. On veut montrer que Un Converge, voila pourquoi MA PREMIERE DEMONSTRATION EST "PARFAITE":
ON OBTIENT VN=3/4*(1/5)^N-1
ET ON CHERCHE LA LIMITE DE UN=[3/4*(1/5)^N-1]+1/4, ça tend vers 1/4.
si la raison Q était supérieure à 1, Vn ne converge pas et Un non plus, les deux sont liés.
( Un=Vn+1/4)
quand à la perfection !! c'est un vocabulaire que j'ai très peu entendu ici , mais chacun peut s'auto-juger tout seul..
ps : svp, essayer d'éviter les majuscules en permanence , je trouve celà un peu désagréable.
Bonjour à tous
Effectivement j'aurai du écrire que V(n+1)=3/4*Vn car V1= Un -1/4= 1-3/4 = 3/4
Bien sûr la limite de Un est juste (1/4) mais l'expression est fausse !
D'autre part je ne savais pas que ces suites darithmético-géométriques ne sont pas toutes convergentes et dans ce cas il faut étudier le signe de
U(n+1) - Un pour voir les variations de U et ainsi de suite pour prouver qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée.
Je sais le faire mais je l'ai négligé au vu de la limite qui est un réel ( je sais que ce n'est pas la bonne méthode) ça sera pour les prochaines fois...
Merci
Estimez vous heureux que j'ai pu trouver votre erreur. Car votre résultat était juste mais votre raisonnement était faux. Dans d'autres circonstances, les conséquences auraient pu etre plus graves.
Attention, absolument pas, tu n'as pas du tout besoin de faire cela, ... je crois que les messages précédents t'ont amené une certaine confusion :
Dans la méthode que j'ai indiqué dans le message#2 et qui est la méthode standard pour traiter les suites arithmético-géométriques, lorsque l'on définit le point fixe
Conclusion : Etudier la suite
L'avantage de cette méthode c'est qu'elle est systématique et que l'on trouve les informations sur la suite directement et immédiatement, sans avoir à se poser des questions si la suite est monotone ou pas, croisannte pas croissante, sans avoir à trouver un majorant ou un minorant, sans avoir à démontrer tout cela ! Et puis Imagine que la suite ne soit pas monotone, comment ferais-tu alors pour conclure ?
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 04/12/2012 à 13h52.
tout à fait Planète,
sauf que Kaderben n'a visiblement pas encore vu ( ce qu'il dit ) les suite arithmético géométrique et donc on ne peut brutalement lui affirmer :
ce type de suite se resoult ainsi.
un peu comme si on imposait une solution type discriminant pour qcq qui n'a pas encore vu les polynome du second degré.
j'essaye de tenir compte des connaissances en cours des interlocuteurs.
quand à ça :
"Estimez vous heureux que j'ai pu trouver votre erreur. Car votre résultat était juste mais votre raisonnement était faux. Dans d'autres circonstances, les conséquences auraient pu etre plus graves."
il faut pas pousser ( il avait juste oublier un facteur (3/4) ) le raisonnement n'était pas faux, c'était l'expression finale !!!!
quand au reflexe "croissante et majorée ou décroissante et minorée" , le principe s'applique à tout type de série et est à terme bien plus utile qu'une formule pour une forme de suite particulière.
bonne journée
Dernière modification par ansset ; 04/12/2012 à 14h03.
Précise qui est l'auteur de ces phrases, parce que présenté comme tu le fais on pourrait penser que c'est moi !
Dernière modification par PlaneteF ; 04/12/2012 à 14h21.
c'est boisdevincennes, pas toi évidemment Planete. désolé.
si la discussion est devenue confuse c'est qu'il a plaqué la solution "traditionnelle" de résolution de ce type de suite avec Vn=Un-a
et une valeur de a connue SI on connait déjà cette résolution, d'ou une suite Vn qui apparait immédiatement comme géométrique.
mais si tu ne l'a pas déjà vu:
ou bien tu refais la démo,
ou bien tu prend une autre voie.
pour revenir sur ma comparaison,
on peut tout à fait re-démontrer que le signe de b²-4ac est déterminant pour une équation du second degré.
mais pas dire: c'est comme ça, pas autrement, et tu devrais le savoir.
( et ce avec des propos un peu désagréable sur la forme )
bon, l'important c'est que le posteur ait avancé, ce que j'espère.
cordialement
Dernière modification par ansset ; 04/12/2012 à 18h26.
Ansset arretez de vous justifier. J'AI AIDE l'utilisateur Kaderben à résoudre son probleme, car son raisonnement était faux, ce que les autres spécialistes n'avaient pas vu.
