Problème suite

[invitedef1b108]

Voici comment se présente le problème:

"On étudie une culture d'organismes monocellulaires dont le nombre evolué
chaque jour. Chaque organisme donne naissance a deux nouveaux organismes
après une journée d'existence, puis meurt a son deuxième jour d'existence.
Sachant qu'aux deux premiers jours de l'étude, la culture contient respectivement
1 et 3 organismes vivants, combien d'organismes sont vivants au jour n de l'étude ?"

Je n'arrive même pas à trouver les 5 premiers termes de la suite, je m'embrouille.
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[boisdevincennes]

c'est une suite de la forme Un+1=2Un mais je trouve pas les premiers termes.

[invitedef1b108]

Je ne suis pas sûr de ma réponse, mais voici une de mes tentatives:











Quelqu'un pourrait-il me dire si ce sont bel et bien les 5 premiers termes de la suite ou est-ce que je me suis trompé ?

[boisdevincennes]

oui
apres on voit que Un+1=2Un. *** inapproprié *** pour trouver le premier terme.
Un=U1*2^n-1
je pense qu'il faut isoler U0=1 c'est pas un multiple des autres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je ne suis pas sûr de ma réponse, mais voici une de mes tentatives:











Quelqu'un pourrait-il me dire si ce sont bel et bien les 5 premiers termes de la suite ou est-ce que je me suis trompé ?

Non, ces termes ne sont pas corrects. Prends les éléments de l'énoncé dans l'ordre, en principe ça route tout seul.

oui
apres on voit que Un+1=2Un. mais ça chie pour trouver le premier terme.
Un=U1*2^n-1
je pense qu'il faut isoler U0=1 c'est pas un multiple des autres.

Ce n'est pas l'expression de la suite.

[boisdevincennes]

je trouvais comme tothlesshark mais si seiros le dit.

[Seirios]

Si l'on prend le troisième terme : à l'étape 2, il y a trois organismes et chacun d'eux donnent naissance à deux nouveaux organismes, soit un total de 9 organismes ; néanmmoins, l'unique organisme de l'étape 1 meurt, donc il n'y a finalement que 8 organismes à l'étape 3.

[Seirios]

Cela dit, je m'étonne de voir un tel exercice posé au lycée ; as-tu vu les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (type suite de Fibonacci) ?

[invitedef1b108]

Donc, on a une suite de la forme 1,3,8,22,... ?

Si oui, alors notre est définit par récurrence:

C'est bien ça ?

Oui, j'ai bien vu la suite de Fibonacci. D'où la raison de mon embrouillement lorsque je me suis retrouvé avec une suite arithmétique. ^-^

[Seirios]

Pour la quatrième terme, je trouve plutôt 21, et donc une relation de récurrence différente.

[invitedef1b108]

Oh...

Pourtant si on se trouve au troisième jour il nous reste 8 cellules.
Au quatrième jour, les 8 cellules donneront chacune 2 cellules (donc en tout 24) et les deux cellules qui étaient resté du jour deux mourront ce qui nous donne 22 cellules au finale, non ?

[Seirios]

L'énoncé précise qu'il y avait trois organismes le deuxième jours ; sinon on est d'accord sur le raisonnement.

[invitedef1b108]

En effet, mais un des trois est déjà mort au troisième jour, il nous en restait plus que deux n'est-ce pas ?

[Seirios]

Exact, c'est moi qui n'ai pas fait attention à ce détail, tu as tout à fait raison.

[invitedef1b108]

Ok, ça me rassure

Le calcul commence...:

Nous avons donc
On pose , on obtient
On trouve comme racines :
Dès lors, on a 2 suites géométriques et
On cherche les valeurs des constantes C1 et C2 de
Pour X_0 on a:
Pour X_1 on a:
Grâce à un système d'équation on trouve les valeurs de C_1 et C_2:
Pour finir nous avons:

Enfin!

C'est juste ?

Merci d'avance

[Seirios]

Nous avons supposé que les organismes donnaient naissance, le deuxième jour de leur existence, à deux nouveaux organismes juste avant de mourir, ce qui ne semble pas indiqué par l'énoncé. Du coup, la suite serait plutôt 1, 3, 6, 12 (une simple suite géométrique).

[boisdevincennes]

boisdevincennes confirme Un+1=2Un mais a partir du u1 pas du U0.
U0=1
U1=3
UN=U1*2^N-1 pour N ETOILE

[invitedef1b108]

J'ai fais part de l’ambiguïté de la question au niveau de ce qu'il advenait à la cellule au second jour, mon professeur m'a répondu que la cellule donnait naissance avant de mourir et donc qu'on se trouve bel et bien avec une suite à récurrence comme l'avait évoqué correctement Seirios.

Merci infiniment de votre aide