limite de fonction sinusoïdale (première)

[invite022f1a0b]

Bonsoir,

Nous avons f(x) = (sin9x + 9sinx)/x^3
Il s'agit de déterminer la limite de f en 0

J'ai procédé de diverse manières afin d'ôter la forme indéterminée, sans résultat.
Dans un premier temps, j'ai multiplié le numérateur et le dénominateur par 9/x , ce qui m'a donné trois formes dans la limite en 0 est considérée comme habituelle (selon notre cours) et qui sont lim en 0 de (sin9x/9x) = 1 et lim en 0 de sinx/x = 1 et dans le dénominateur lim en 0 de x²/9 = 0
Mais tout ceci ne mène nul part car je tombe sur la forme 0/0

Dans un second temps, j'ai factorisé par 9/x , mais voilà, encore une fois, je tombe sur une forme indéterminé qui cette fois est 0 x l'infini

Dois-je conclure que cette fonction n'a aucune limite ? (cela ne me parait pas logique, alors si c'est la réponse exacte, une petite explication ne serait pas de refus !)
Dois-je simplifier sin9x suivant les formules de trigonométrie avant de calculer la limite de f ? (J'y pense car j'ai remplacé le 9 par un 2 histoire de me familiariser avec l'exercice, mais je ne pense pas que cela me mènera quelque part)

Merci de prendre la peine de me répondre,
Salutations,
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[invite8a314b22]

pense à la la formule

[gg0]

Et en décomposant en deux fractions pour séparer les sinus, ça va vite.

Cordialement

[invite022f1a0b]

J'ai pris en considération vos indications, mais je tombe sur une autre forme indéterminée + infini - infini
Merci de bien vouloir m'aider,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a314b22]

[invite8a314b22]

ola désolé

bon il faut lire sin(9x) / x je sais pas ce que j'ai ce soir avec Latex, lendemain de reveillon..

[invite022f1a0b]

Dois-je en conclure donc que la limite de cette fonction est égale à +l'infini ?

Encore une chose, notre professeur nous donna une autre fonction de même type, sauf que cette fois-ci il s'agit de (sin(7x) - 7sin(x))/x^3 , pour la résoudre, il nous proposa de simplifier ceci :

A= sin(x)(cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) )

J'ai trouvé : A = (sin(7x) - sin(x)) x 1/2

Après plusieurs calculs et simplifications, j'ai finalement abouti au résultat suivant : limite de f en 0 est égale à -80 or que, en suivant l'autre technique, le résultat diffère, et de loin.
Pourtant, ma technique semble correcte en apparence ! Qu'en pensez vous ?

Et merci,

[gg0]

C'est assez piègeux : les deux cas diffèrent :


En passant à la limite, la première fraction tend vers l'infini, la parenthèse vers +18, d'où la limite.


En passant à la limite, la première fraction tend vers l'infini, la parenthèse vers 0 : Impossible de conclure !!

Cordialement.

NB : Mon esclave calculateur me dit que la limite est -56. Il est d'accord avec ta transformation de A.

[invite022f1a0b]

Ah, je comprends mieux !

Bon, en ce qui concerne la fonction , j'ai beau refaire mes calculs, j'obtiens toutes sortes de résultats, mais aucun d'entre eux est -56 , je vous donne alors ma démarche, en espérant que vous pourriez me corriger !

On a précédemment démontré que
alors
en additionnant cos(2x) et cos(6x) on trouve :

Pour la suite je remplace 2x par t (pour simplifier, rien de plus)





alors pour tout x réel différent de 0, on a :



Bon, voilà, le résultat de la limite est loin d'être -56 !

Merci de bien vouloir y jeter un coup d'oeil ! (C'est la première fois que j'utilise LaTex, j'espère m'être bien débrouillée)

[gg0]

C'est ta dernière ligne de calcul dans la factorisation qui est fausse : Le 4 ne se factorise pas !!


Cordialement.

NB : Avec
on arrive aussi au même résultat !

[invite022f1a0b]

Oui, merci ! Je m'en suis rendue compte le lendemain matin, il faut dire que je me déconcentre très rapidement...

J'ai essayé de reprendre la même question, mais cette fois avec , j'ai essayé de trouver ma propre équation A afin de reprendre le même chemin que pour la question précédente, voilà ce que j'ai trouvé :

A =
Ce qui revient donc à ce que :
J'ai essayé de développer un peu pour obtenir une formule sur laquelle je pourrais appliquer les formules du cours, sans obtenir un résultat fameux, bref, je suis arrivée à ceci :


Des idées ?

( j'ai vérifié à l'aide d'une calculatrice, la limite existe pour tous les entiers que j'ai entré à la place de 7, j'aimerais donc parvenir -après avoir résolu cette limite là- à résoudre la même limite mais cette fois en remplaçant les nombres pas un entier m, voilà pourquoi j'ai décidé de refaire le travail en utilisant m=9, histoire de mieux comprendre ce qui se passe là-dedans !)

Merci !

[invite022f1a0b]

Bon, je pense avoir trouvé!
Grosse erreur de ma part : A=
d'où
de là, j'ai utiliser votre technique (beaucoup plus simple et bien plus utile en ce qui concerne ma quête pour une généralisation en fonction d'un paramètre m de l'ensemble N) , j'obtiens donc : lim = -120 !

Merci.