Exercice: Bénéfice mensuel maximal

[invitefb80f665]

Bonjour j'ai un exercice de maths, auquel j'ai essayé de répondre aux questions mais je n'y arrive pas.
Si vous pouvez m'aider svp... merci.

Voici l'énoncé: Dans une entreprise, la production et la vente de x centaines de jouets tous identiques génère un bénéfice mensuel, en millier d'euros, que l'on modélise par: B(x)= 10(x-5)e^u(x) où x appartient à [1;15] et u(x)=*0.02x²+0.2x-0.5

1) résoudre l'équation B(x)=0 et interpréter le résultat.
j'ai trouvé 31.25 mais je crois que j'ai faux!

2) On note B' la dérivée de B et u' la dérivée de u.
a) calculer u'(x) et B'(x). J'ai trouvé u'(x)=0.16 et B'(x)=1.6e^u(x)
b) montrer que B'(x) a le même signe sur l'intervalle [1;15] que -0.4x²+4x. C'est là où je n'y arrive pas, je ne sais pas comment m'y prendre pour calculer.
c) Etudier le signe de B'(x) et dresser le tableau de variations de la fonction B (on précisera les valeurs aux bornes arrondies à 0.01 près). La je ne sais pas non plus :/

3) Pour quelle quantité de jouets le bénéfice est-il maximum? Quel est alors le bénéfice, arrondi a 10 euros près ? Calculer alors le bénéfice moyen par jouet. (Pour répondre à ces questionos j'ai besoin des questions au dessus mais comme je n'y arrive pas,je suis coincé).
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[gg0]

Bonjour.

mais je crois que j'ai faux!

Moi j'en suis sûr, écris tes calculs ici, on t'aidera.

u'(x)=0.16 et B'(x)=1.6e^u(x)

ça aussi c'est faux !

Si tu ne fais pas sérieusement ton travail, inutile qu'on t'aide. Il est inadmissible que tu ne saches pas calculer u'(x), c'est du programme de l'an dernier.

Bouge-toi !!

[invitefb80f665]

Bah pour moi u'(x)= -0.02*2+0.2=0.16

[invitefb80f665]

B(x)=o
10(x-5)e^u(x)
e^u=u'e^u=0.16e^u(x)
donc 10x-50*0.16e^u(x)
10x*0.16e^u(x)=50
1.6xe^u(x)=50
x=50/1.6
x=31.25 Donc B(x) est positif il y a donc un bénéfice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Peux-tu rappeler les règles de calcul des dérivées :
(f(x)+g(x))'=
(kf(x))'= (k est une constante)
(k)' = (k est une constante)
(x)' =
(xⁿ)' =

Puis tu feras le calcul de u'(x) en ne faisant qu'appliquer ces règles.

[invitefb80f665]

u+v=u'+v'
u-v=u'-v'
u*v=u'v+uv'
u/v=u'v-uv'/v²

x=1
x²=2x
x^n=n*n*1
1/x=-1/x²
racine de x=1/2racine de x

[invitefb80f665]

donc u'(x)=-0.02*2x+0.2*1=-0.04x+0.2

[gg0]

Non, ça c'est faux :

u+v=u'+v'
u-v=u'-v'
u*v=u'v+uv'
u/v=u'v-uv'/v²

x=1
x²=2x
x^n=n*n*1
1/x=-1/x²
racine de x=1/2racine de x

Ce qui est juste c'est :
(u+v)'=u'+v'
(u-v)'=u'-v'
(u*v)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv')/v²

(x)'=1
(x²)'=2x
(x^n)'=n*x^(n-1)
(1/x)'=-1/x²
(racine de x)'=1/(2racine de x )

Tu manques un peu de sérieux de n'être même pas capable de copier proprement des formules de cours !!! Ne dis pas "je suis mauvais en maths" : Tu n'en sais rien si tu ne fais rien pour savoir faire.
Donc, comme tu viens de commencer à le faire en calculant la dérivée de u, change d'attitude, agir intelligemment est toujours plus satisfaisant (et on a l'air moins con !!)

Pour u(x), comme celui écrit dans l'énoncé est illisible, je suppose que c'est u(x)=-0.02x²+0.2x-0.5. Alors ton résultat u'(x)=-0.02*2x+0.2*1=-0.04x+0.2 est le bon.
Tu vois, ce n'est pas difficile de calculer des dérivées. On applique les formules.

Pour continuer, tu vois que f(x) est un produit et il y a une autre formule de dérivée à connaître :


Bon travail !

[invitefb80f665]

B'(x)=10(x-5)e^u(x) de la forme (u*v) avec u(x)=10(x-5) et v(x)=e^u(x)
u'(x)=10x-50 v'(x)=-0.04x+0.2*e^u(x)
u'(x)=10
donc u'v+uv'
(10e^u(x))+(10(x-5)*-0.04x+0.2e^u(x))
10e^u(x)+(10x-50)*-0.04x+0.2e^u(x)
10e^u(x)+ (-0.4x+2e^u(x)-2-10e^u(x)
10e^u(x)-0.04x-8e^u(x)-2
2e^u(x)-0.04x-2 forme du second degrés ? donc pour étudier le signe de B'(x), on calcule le discriminant.

[gg0]

Bonjour.

B'(x)=10(x-5)e^u(x) Non ! Pas B' mais B
de la forme (u*v) avec u(x)=10(x-5) et v(x)=e^u(x)
u'(x)=10x-50 v'(x)=-0.04x+0.2*e^u(x) faux : v'(x)=(-0.04x+0.2)*e^u(x)
u'(x)=10
donc u'v+uv'
=(?10e^u(x))?+(?10(x-5)*-0.04x+0.2e^u(x))? Pourquoi ces parenthèses ?? Tu mets des parenthèses pour additionner des produits alors que la convention est qu'elles ne sont pas nécessaires (règle de priorité des opérations), mais pas pour multiplier des sommes !!!! Apprends tes leçons de sixième une bonne fois pour toutes.

donc u'v+uv'
=10e^u(x)+10(x-5)*(-0.04x+0.2)e^u(x)
=10e^u(x)+(10x-50)*-0.04x+0.2e^u(x) tu vois bien qu'elles ne servaient à rien tes parenthèses, puisque tu les enlèves sans rien changer d'autre Tu es parti pour faire un calcul faux
= 10e^u(x)+ (-0.4x+2e^u(x)-2-10e^u(x) Quelle idée de développer, alors qu'il y a un facteur commun évident. Et un oubli de parenthèse qui fout tout en l'air !
10e^u(x)-0.04x-8e^u(x)-2 et voilà ! C'est tout faux !
2e^u(x)-0.04x-2 forme du second degrés ? Où vois-tu du x² ???
donc pour étudier le signe de B'(x), on calcule le discriminant.


En bilan : Il faut être plus strict, et appliquer, pour calculer, les règles de calcul du collège. Si tu ne les connais plus, apprends-les vite, tu en as besoin tout le temps.
Autre chose : dans les calculs de dérivées on factorise dès qu'on peut : ça simplifie l'étude du signe, et généralement aussi les calculs de valeurs. Ce n'est pas pour rien qu'on t'a appris à factoriser; C'est une méthode fondamentale en maths.

Cordialement.

[invitefb80f665]

j'ai trouvé grâce a votre aide B'(x)= e^u(x) facteur de (-0.4x²+4x)

Apres je dit que exponentielle u(x) est toujours positif donc on regarde si -0.4x²+4x) est positif si >0
donc -0.4x²+4x >0
4x>0.4x²
x>0.1 x²

[jamo]

il faudra résoudre l’inéquation , c'est niveau seconde .mets x en facteur

[invitefb80f665]

non.... mais, le signe doit alors être de l'autre côté....

[jamo]

-0.4x²+4x >0 => x(-0.4x+4)>0
tu fais quoi avec ça maintenant à ton avis?

[invitefb80f665]

je passe tout ce qui se trouve entre parenthèse de l autre coté

[jamo]

tu as calculé g'(x) , pourquoi ?
comment connaitre le signe de -0.4x²+4x ?

[invitefb80f665]

u'(x)=-0.04x+0.2 donc -0.04x+0.2>0
0.2>0.04x
5>x non ??

[jamo]

u'(x)=-0.04x+0.2 donc -0.04x+0.2>0
0.2>0.04x
5>x non ??

ça sort d'où u'(x)=-0.04x+0.2 ?

[invitefb80f665]

bah c'est g'(x)

[jamo]

j'ai trouvé grâce a votre aide B'(x)= e^u(x) facteur de (-0.4x²+4x)

Apres je dit que exponentielle u(x) est toujours positif donc on regarde si -0.4x²+4x) est positif si >0
donc -0.4x²+4x >0
4x>0.4x²
x>0.1 x²

le signe de la dérivée calculée ( je ne sais pas si elle est juste !) dépend du signe de -0.4x²+4x car exponentielle u(x) est toujours positif comme tu l'as écrit .

[gg0]

Trickygun,

tu recommences à écrire un epu n'importe quoi !

Reprends les choses posément, en appliquant des règles de maths:
-0.4x²+4x >0
4x>0.4x²
x>0.1 x²
oui, et alors ? Quelle règle vas-tu appliquer maintenant ?

Il y a possibilité de continuer, car on a envie de "simplifier" par x. mais simplifier une inégalité, c'est dangereux. Alors on va utiliser les règles que tu connais sur multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Oui mais x peut très bien être nul. Et la règle demande de connaître le signe.
Bon, revenons à un calcul plus simple, que tu as vu l'an dernier :
Le signe de B'(x) est celui de -0.4x²+4x qui est un .. polynôme du second degré, et tu as vu l'an dernier comment trouver son signe suivant les valeurs de x: trouver ses racines, puis, s'il y en a (ici, il y en a), du signe de a à l'extérieur, de -a entre les racines.
A toi de faire ça ...

[invitefb80f665]

discriminant= b²-4ac avec a=-0.4,b=4 et c=0
(4)²*4(-0.4)(0)
16-0
16 il y a donc deux solutions

x1= -b-racine de delta sur 2a x2= -b+racine de delta
-4-racine de 16 sur 2(-0.4) -4+16/-0.8
-4-4/-0.8 -15
1

On retrouve alors les deux bornes [1;15] donné dans l'énoncé.

[invitefb80f665]

[QUOTE=Trickygun;4325712]discriminant= b²-4ac avec a=-0.4,b=4 et c=0
(4)²*4(-0.4)(0)
16-0
16 il y a donc deux solutions

x1= -b-racine de delta sur 2a x2= -b+racine de delta
-4-racine de 16 sur 2(-0.4) -4+16/-0.8
-4-4/-0.8 -15
1

On retrouve alors les deux bornes [1;15] donné dans l'énoncé.

[invitefb80f665]

tableau : x -15 1
b'(x) +
b(x) croissant

[gg0]

Je n'ai rien compris, mais en tout cas les solutions sont évidentes et ne sont pas celles que tu sembles utiliser. Et si tu faisais les calculs sérieusement ???

[invitefb80f665]

je les fais sérieusement, j'ai trouvé pour delta 16, et donc il y a deux solutions, la premiere est 1 et la deuxième est -15.

[gg0]

Vérification :

x=1 : -0.4x²+4x=-0,4+4 pas 0
x=-15 : -0.4x²+4x=-0,4*225+4*15 =-90+60 pas 0

(-4-4)/(-0,8)= ?
(-4+4)/(-0,8)= ? (évident à lire -0.4x²+4x=x(-0.4x+4))

[invitefb80f665]

je me suis trompé, mal tapé à la calculatrice, ça fait 10 pour x1 et 0 pour x2.
Verification:

x1= : -0.4x²+4x=-0.4*100+4*10=-40+40=0
x2= : -0.4x²+4x=-0.4*0+4*0=0

[invitefb80f665]

Une fois que j'ai dis qu'il y avait deux solutions, je dresse le tableau de signes. Ensuite je dis quoi pour répondre a la question: montrer que B'(x) a le même signe que sur l'intervalle [1;15] que -0.4x²+4x ?
Et la question d'après, c'est étudier le signe de B'(x) et dresser le tableaux de variations de la fonction B, mais je le fais déjà à la question précédante....

[gg0]

Tu racontes n'importe quoi !!

Tu en es à la question 2,c, donc tu ne réponds pas à nouveau à 2b et tu ne refais pas encore la question que tu as faite.

Bon, sérieusement, si tu n'es pas capable de te souvenir de ce que tu as fait ...