Polynôme degré 3

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 22h07

Bonsoir à tous,

J'ai un peu de mal à terminer une des dernières question de mon DM.

Question 2)

Soit P un polynôme de degré 3, on a alors P(x) = αx3 + bx² + cx + d, où a, b, c, et d sont des constantes réelles.

α est une racine de P, c'est-à-dire qu'on a P(α) = 0.
Montrer qu'il existe un polynôme Q de degré 2 tel que : P(x) = (x - α)Q(x)

Donner les coefficients de Q en fonction de ceux de P et de α.

Merci de votre aide

**PlaneteF** · 09/01/2013, 22h25

Bonsoir,

Puisque par définition $\text{[math]}$ , tu peux alors écrire que : $\text{[math]}$

Calcule ainsi $\text{[math]}$ et tu verras que tu peux mettre $\text{[math]}$ en facteur de manière évidente.

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 22h33

Bonsoir PlaneteF,

Merci pour ta réponse rapide.

Je ne vois pas trop où tu veux m'emmener en mettant $\, P(x)-P(\alpha) \,$ ...

Puisque comme $\, P(\alpha)=0 \,$ alors ça ne change rien ?

**PlaneteF** · 09/01/2013, 22h38

Envoyé par zohane

Je ne vois pas trop où tu veux m'emmener en mettant $\, P(x)-P(\alpha) \,$ ...

Puisque comme $\, P(\alpha)=0 \,$ alors ça ne change rien ?

Mets-y un peu de bonne volonté

$\text{[math]}$

Je te laisse terminer, c'est très simple !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 22h51

En fait je ne comprends pas trop les polynômes du degré 3 puisque notre professeur nous a donné ce DM en narration de recherche donc je n'y connais rien du tout

Je pense qu'il faut factoriser ax^3 + bx ² + cx + d pour obtenir (x - $\alpha$ )

(J'ai démontré précédemment que x^3 - $\alpha$ ^3 = (x² + $\alpha$ x + $\alpha$ ²))

**PlaneteF** · 09/01/2013, 22h57

Envoyé par zohane

Je pense qu'il faut factoriser ax^3 + bx ² + cx + d pour obtenir (x - $\alpha$ )

... Et pour factoriser cette expression tu fais le calcul que je t'ai indiqué dans mon message précédent, et c'est terminé ...

Vas-y ! Go ! ... Où est le problème ?

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 23h04

Je pense que c'est ça :

ax3 - a3 + bx2 - b2 + cx - c
= a(x3 - 3) + b(x2 - 2) + c(x - $\alpha$ )
= a(x3 - 3) + b(x - $\alpha$ )(x + $\alpha$ ) + c(x - $\alpha$ )

**PlaneteF** · 09/01/2013, 23h11

Envoyé par zohane

Je pense que c'est ça :

ax3 - a3 + bx2 - b2 + cx - c
= a(x3 - 3) + b(x2 - 2) + c(x - $\alpha$ )
= a(x3 - 3) + b(x - $\alpha$ )(x + $\alpha$ ) + c(x - $\alpha$ )

Euuh

... t'as un blème avec un paquet de $\text{[math]}$ qui manquent (aux endroits mis en rouge).

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 23h11

Correction :

Je pense que c'est ça :

ax^3 - a(alpha)^3 + bx2 - b(alpha)^2 + cx - c(alpha)
= a(x^3 - (alpha)^3) + b(x2 - (alpha)^2) + c(x - alpha )
= a(x^3 - (alpha)^3) + b(x - alpha )(x + alpha ) + c(x - alpha )

(Je ne peux pas ajouter + de 7 images par message ...)

**PlaneteF** · 09/01/2013, 23h17

Envoyé par zohane

= a(x^3 - (alpha)^3) + b(x - alpha )(x + alpha ) + c(x - alpha )

Utilise la formule que tu avais démontré précédemment pour l'expression "en gras", puis met $\text{[math]}$ en facteur dans toute l'expression, ... et c'est démontré !

Envoyé par zohane

(Je ne peux pas ajouter + de 7 images par message ...)

Quelles images

... Utilise latex (\alpha mis entre 2 balises latex)

invite6dbc62e5 · 09/01/2013, 23h21

Je ne sais pas quoi en faire du $\, (x-\alpha) \,$ = (x² + $\alpha$ x + $\alpha$ ²) En fait je ne vois pas en quoi ça pourrait m'aider

________

Trop compliqué pour moi latex ^^

Je vais y aller, je te souhaite une bonne fin de soirée je reviendrai demain pour re-réfléchir à mon problème (enfin pas si dur qu'il n'y parait

)

**PlaneteF** · 09/01/2013, 23h34

Envoyé par zohane

Je ne sais pas quoi en faire du $\, (x-\alpha) \,$ = (x² + $\alpha$ x + $\alpha$ ²) En fait je ne vois pas en quoi ça pourrait m'aider

Hein ?

... J'comprends pas ske tu racontes.

On a : $\text{[math]}$

Tu mets ainsi $\text{[math]}$ en facteur et game over!

Envoyé par zohane

Trop compliqué pour moi latex ^^

Euuh, tu rigoles ?!

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 21h44

Bonsoir à tous !

(Eh oui je suis là

)

Donc pour la question, j'ai :

Comme P(x) = P(x) - 0 = P(x) - P(α) On a alors :

(ax^3 + bx² + cx + d) - (aα^3 + bα² + cα + d)

= a(x^3 - α^3) + b(x² - α²) + c(x - α)
= a(x - α)(x² + αx + α²) + b(x - α)(x + α) + c(x - α)
= (x - α)[a(x² + αx + α²) + b(x + α) + c]
= (x - α)[a(x + α)² + b(x + α) + c]
= (x - α)(ax² + bx + c) puisque α racine de P et égale à 0

Sauf que j'ai demandé à mon professeur de maths et il m'a dit ça :

"α est une racine de P(x) c'est P(α) = 0 ..."

Et il m'a dit : "ax² + bx + c n'est pas la seule forme d'un polynôme du second degré, il ne faut pas penser qu'à ax² + bx + c"

Je ne sais pas comment m'y prendre ...

Merci

**PlaneteF** · 10/01/2013, 22h11

Envoyé par zohane

= (x - α)[a(x² + αx + α²) + b(x + α) + c]
= (x - α)[a(x + α)² + b(x + α) + c]

Envoyé par zohane

= (x - α)[a(x + α)² + b(x + α) + c]
= (x - α)(ax² + bx + c) puisque α racine de P et égale à 0

Gné ?!

Bon, faut arrêter de rigoler là.

Tu continues à partir de là :

Envoyé par zohane

= (x - α)[a(x² + αx + α²) + b(x + α) + c]

Dans le 2^e facteur (en bleu) tu regroupes les $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , et termes constants, ... et çà y est, tu as démontré l'existence de $\text{[math]}$ (sans oublier une justification sur le terme en $\text{[math]}$ ), ... avec en prime la réponse à la dernière réponse

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 22h16

Non mais je sais que j'ai faux et j'en ait conscience, puisque je croyais que (x² + αx + α²) était le développement de (x + α)² or, il n'y a pas le "2αx" à la place de αx ...

Bref, on ne peux plus regrouper les termes entre eux puisque ce sont des produits .. non ?

**PlaneteF** · 10/01/2013, 22h24

Envoyé par zohane

Bref, on ne peux plus regrouper les termes entre eux puisque ce sont des produits .. non ?

Hein ??

N.B. : Je ne comprends où tu coinces, c'est quasi-terminé (20 secondes maxi), ... par exemple le regroupement des termes constants dans l'expression en bleu donne $\text{[math]}$

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 22h30

En fait je ne comprend pas trop le regroupement des termes, même avec le résultat, j'ai du mal à voir comment tu a pu regrouper. Le b $\text{[math]}$ je ne sais pas comment tu l'a

**PlaneteF** · 10/01/2013, 22h40

Envoyé par zohane

En fait je ne comprend pas trop le regroupement des termes, même avec le résultat, j'ai du mal à voir comment tu a pu regrouper. Le b $\text{[math]}$ je ne sais pas comment tu l'a

Ben c'est ce que tu faisais au collège, comme par exemple :

2x² + x - 14 + x² - 3x + 10758

= 3x² - 2x + 10744

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 22h44

Ah c'est bon je vois !

Merci de ton explication

Pour les coefficients de Q, avec $\, a \alpha^2+b \alpha+c \,$ , tu les trouve comment (c'est les constantes qui multiplient Q(x) ? )

**PlaneteF** · 10/01/2013, 22h52

Envoyé par zohane

Pour les coefficients de Q, avec $\, a \alpha^2+b \alpha+c \,$ , tu les trouve comment (c'est les constantes qui multiplient Q(x) ? )

Formulation maladroite : Ce sont plutôt chacunes des 2 constantes qui multiplient les termes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ plus le terme constant.

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 22h58

Il y a une méthode particulière pour les trouver ?

**PlaneteF** · 10/01/2013, 23h02

Envoyé par zohane

Il y a une méthode particulière pour les trouver ?

Ben la méthode dont on parle depuis le "bédut"

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 23h06

Il faut factoriser

?

**PlaneteF** · 10/01/2013, 23h08

Envoyé par zohane

Il faut factoriser

?

Euuuh, attend, y a un truc que je ne pige pas

... tu viens bien de le finir l'exo, ... nan ???

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 23h17

Non pas du tout, je te dis que je ne comprend pas trop

**PlaneteF** · 10/01/2013, 23h20

Envoyé par zohane

Non pas du tout, je te dis que je ne comprend pas trop

Ecris explicitement où tu en es, ... et tu vas le torcher une bonne fois pour toute cet exo

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 23h22

Je suis bloqué ici : $\, a \alpha^2+b \alpha+c \,$ , il faut trouver les coefficients, je ne sais pas comment faire

**PlaneteF** · 10/01/2013, 23h23

Envoyé par zohane

Je suis bloqué ici : $\, a \alpha^2+b \alpha+c \,$ , il faut trouver les coefficients, je ne sais pas comment faire

As-tu trouvé l'expression de $\text{[math]}$ ?

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 23h35

Et bien Q(x) = $\, a \alpha^2+b \alpha+c \,$ non ?

C'est un polynôme du second degré

invite6dbc62e5 · 10/01/2013, 23h45

Bon je vais déconnecter, je verrai demain et le week-end, j'aurai le temps de réfléchir sur cette question de malheur

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