Exercice sur les complexes.

[invite357cc385]

Bonsoir, j'ai besoin de l'aide avec un exercice d'un DM, svp si quelqu'un peut m'aider?
Voici l'énoncé:
On construit extérieurement à un triangle ABC, trois triangles équilatéraux BCP, ACQ, ABR, de centres de gravité respectifs U,V et W.
En se placant dans le plan complexe muni du repere orthonormé direct (0;u;v) et en posant a,b et c les affixes respectives de A, B et C. Montrer que UVW est équilatéral et de meme centre de gravité que ABC.
Je ne sais pas comment le faire.
Si quelqu'un peut me donner des pistes.
Merci d'avance
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[invite621f0bb4]

Déjà, as-tu fait une figure ?
Sinon fais-en une.

Si oui, connais-tu la formule pour calculer le centre gravité G d'un triangle ? Tu as du la voir dans ton cours.
Propose nous une solution, en tout cas ce que tu as fait, ce à quoi tu as pensé etc... et on te conseillera après. Pose toi les bonnes questions

[invite357cc385]

Voici ce que j'ai fait:
j'ai fixé a,b,c :
a=-3+6i
b=-3+2i
c=2+3i
mais comme c'est dans le cas général que je dois faire l'exercice je ne vois pas comment le faire moi j'ai fait une figure avec les affixes a,b et c que j'ai donné ici. et comment calule t-on l'affixe du centre de gravité des triangles c'est avce la formule zG=(Za+Zb+Zc)/3..?
Mais comment le faire dans le cas général c'est comme ca?

[gg0]

Bonjour.

Effectivement, si tu prends n'importe quoi pour a, b et c, tu ne fais pas ton exercice ! Comme tu ne connais pas le triangle proposé dans l'énoncé, tu ne peux pas donner des valeurs à a, b et c, qui resteront des paramètres (des lettres désignant des nombres supposés connus).
La première chose est de déterminer les sommets des triangles équilatéraux (traduction géométrique de la multiplication par un complexe- on appelle souvent j le complexe de module 1 et d'argument pi/3).
Pour le centre de gravité, c'est l'isobarycentre des sommets, et tu connais le rapport entre complexes et vecteurs.
Et tout se fera en fonction des lettres a, b et c.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite357cc385]

désolé je n'ai pas tres bien compris comment déterminer les sommets des triangles équilatéraux et j ne sais pas ce que repésente :S

[invite357cc385]

j'ai trouvé le théoreme de Napoleon qui en fait c'est cet exercice et je comprends le raissonnement jusqu'a l'étape oú il disent : "comme 1/j+1+j =0 et j^3=1" je ne vois pas d'ou il sorte ceci comment le savent t-ils?
le lien du theoreme est celui-ci: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._Napol%C3%A9on

En fait je ne sais pas si c'est comme car qu'on je l'ai vu j'était completement perdu. je ne comprend pas la démarche.
svp si quelqu'un peut m'expliquer merci d'avance

[gg0]

Ok !

J'avais utilisé un j qui arrange la construction des triangles équilatéraux, celui de ton document est différent, plus courant d'ailleurs, et est "le complexe de module 1 et d'argument 2pi/3". Avec cette définition, prouver "1/j+1+j =0 et j^3=1" est du tout petit calcul.

Mais si tu ne comprends pas un document sur Internet, tu as peut-être intérêt à revoir tes cours, non ?

Cordialement.

[invite357cc385]

je connais tout mon cours et je le comprend aussi, le probleme c'est que je n'ai pas vu en classe ni sur mon cours aucune regles ou theoremes qui s'appliquent aux triangles équilatéraux. meme l'affixe j que vous me donner je ne la connaisait meme pas.Mon professeur nous a donné qu'une seule piste et c'est que comme on a des médianes les sommet se trouve a 2/3 de la médiane.
mais je ne vois pas comment résoudre cet exercice encore :s je ne comprend pas.

[gg0]

1) Avec la définition de j, prouver "1/j+1+j =0 et j^3=1" est du tout petit calcul.
2) soit tu copies une page Internet sans comprendre, c'est ton choix, soit tu cherches une preuve par toi-même et on pourra t'aider.
3) "je n'ai pas vu en classe ni sur mon cours aucune regles ou theoremes qui s'appliquent aux triangles équilatéraux. " Et alors ??? tu sais ce qu'est un triangle équilatéral, tu as appris ça en collège. je t'avais proposé une piste de réflexion, tu as cherché ailleurs.
4) Je peux t'aider à construire une preuve, mais si tu es décidé à le faire toi-même.

[invite357cc385]

vous avez raison c'est que je ne sais pas comment le faire donc je chercher pour voir si je trouver des cours qui mélange des complexes et les triangles équilatéraux. Je vais essayer donc de faire l'exercice avec ce que je sais des complexes et des triangles équilatéraux puis je vous écris pour vous montrer.
Merci et désolé.

[gg0]

BCP est équilatéral donc l'angle entre BC et BP vaut pi/3 (ou - pi/3) suivant les cas de figurep et BC=BP.
Cela se traduit en nombres complexes avec b et c, et l'affixe p de P.

Cordialement.

[invite357cc385]

Donc comme l'angle PBC=pi/3 et que BC=BP quand on traduit ceci avec les complexes ceci signifie que:
zBC/zBP=(BC/BP)*e^i(BP;BC)
or (BP;BC)=pi/3
donc zBC/zBP=(|c-b|/|p-b|)*e^i*pi/3
c'est ca? comment je continue si je ne connais pas l'affixe de b?

[invite357cc385]

Ce que je dois démontrer c'est que WV=WU et l'angle UWV=pi/3
donc je dois démontrer que:
|v-w|=|u-w|
or v=(a+c+q)/3
w=(a+b+r)/3
u=(c+b+p)/3
donc on a |((a+c+q)/3)-((a+b+r)/3)|=|((c+b+p)/3)-((a+b+r)/3)|
ca c'est le chemin inverse c'est aidre que je dois arriver à la fin à ceci mais comment ...?

[gg0]

"comment je continue si je ne connais pas l'affixe de b? " Tu veux dire l'affixe de B ? Mais tu la connais, c'est b.

"donc zBC/zBP=(|c-b|/|p-b|)*e^i*pi/3" ??? Rien à voir avec ce qui précède.
par contre
"zBC/zBP=(BC/BP)*e^i(BP;BC)
or (BP;BC)=pi/3" et BC=BP te donne une relation qui te permettra de déterminer p en fonction de b et c. En effet :
zBC = ... zBP= ...
Donc ....

Comme toujours, on n'écrit pas sans raison. On applique les règles.

Bon travail !

[invite357cc385]

c'est bien ca alors:
zBC/ZBP=e^ipi/3
donc zBC=zBP*e^ipi/3
c-b=(p-b)*e^ipi/3
p=(c-b+b*e^ipi/3)/e^ipi/3
c'est ca?

[invite357cc385]

Bonjour, jusqu'à maintenat j'ai fais ceci mais je vois que ca ne m'emméne pas vers ce que l'on me demande ... :S
est-ce-que c'est correct?:
j'ai calculé p:
p=(b(e^(ipi/3) -1)+c)/e^ipi/3
q=(a(e^(ipi/3) -1)+c)/e^ipi/3
r=(a(e^(ipi/3) -1)+b)/e^ipi/3
Ensuite j'ai calculé v=(a+c+q)/3
v=...
v=(a(2e^(ipi/3)-1)+c(e^(ipi/3)+1))*/3e^(ipi/3)
est-ce que c'est bon je dois continuer à faire ceci est calculer u et w ou ce que je fais est faux ...?
Merci de votre aide

[invite8ac20103]

Bonsoir,

Pour ce qui est de démontrer que ABC et UVW ont meme centre de gravité. (en admettant UVW equilateral)

Tu n'es pas sans savoir la formule de rotation complexe , si non :

 Cliquez pour afficher

z' = e^iø(z - w) + w (où w Affixe du centre de rotation et ø angle de rotation)

Donc dans ton cas, applique ca pour trouver q,r,p en fonctions de a,b,c.

Si tu n'y arrive pas en voila un :

 Cliquez pour afficher

Q image de A par la rotation d'angle et de centre C, ce qui donne : q= e(a-c) + c

Apres tu utilises le fais que v,u,w sont des centres de gravités.

Un exemple si jamais tu bloques :

 Cliquez pour afficher

v = , je te laisse finir le calcul

Apres tu n'as plus qu'à vérifier que le centre de gravité de ABC est bien le meme que UVW en utilisant la formule appropriée.

Pour le fais que UVW est équilateral, utilise les relations que tu aura pu avoir avec les rotations et des centre de gravité, ca devrais etre plus simple pour montrer les angles de et 2 cotés égaux.

Cdt

[invite357cc385]

Le probleme c'est que c'est formule ne sont pas dans mon cours donc je ne suis pas sur de pouvoir les utiliser et les rotations ne sont plus au programme ...?

[gg0]

Fefi,

tes formules sont utilisables et facilement simplifiables sous la forme :
p=(c-b)e^(-ipi/3)+b
...
Celles de Blead me paraissent fausses, car l'angle n'est pas 2pi/3.

Ton énoncé est imprécis, mais en supposant que les triangles équilatéraux sont extérieurs au triangle ABC, on trouve, suivant que ABC est direct ou indirect tes formules ou des formules analogues (p=(c-b)e^(+ipi/3)+b :un + à la place d'un -).

Il ne te reste qu'à finir le calcul en employant la formule du centre de gravité : Justification : Si a, b et c sont les affixes de trois points A, B et C, alors ce sont aussi les affixes des vecteurs . Le centre de gravité G de ABC est défini par

Qui se traduit immédiatement sur les affixes en


Bon travail !

[invite357cc385]

j'arrive à simplifier jusqu'ou vous m'avez dites je trouve p=((c-b)/e^(ipi/3))+b
q=((c-a)/e^(ipi/3))+a
r=((b-a)/e^(ipi/3))+a
ces expressions de p, q et r sont elles fausses?
Si elles ne le sont pas ce que je dois faire c'est calculer w=(a+b+r)/3
v=(a+c+q)/3
u=(b+c+p)/3
c'est ca ce que je dois faire ensuite non?

[gg0]

Tes expressions sont correctes.

Si tu avais pensé aux règles de base sur les puissances, tu aurait vu que diviser par une exponentielle c'est multiplier par une exponentielle d'exposant opposé; et tu aurais retrouvé ce que j'avais marqué (il est souvent plus pratique d'avoir des produits que des quotients.

Pour la suite, c'est encore le centre de gravité de UVW qui doit être déterminé, donc tu as intérêt à simplifier (u+v+w)/3 directement, pour retrouver (a+b+c)/3.

Cordialement.

NB : Je n'ai jamais fait cet exercice, je te laisse le faire.

[invite8ac20103]

Bonjour,

Si l'angle n'est pas c'est son opposé, tout dépend de ce que l'on prend comme point et image.

Sinon c'est la demarche a suivre je pense, continue les calculs fefi

Cdt

[gg0]

Blead,

quelles sont les mesures des angles d'un triangle équilatéral ? 2Pi/3 est un angle obtus.
Il y avait, dans le premier document cité par Fefi, des angles de 2pi/3, mais c'était une autre façon de faire, et un autre angle.

Cordialement.

[invite357cc385]

Bonsoir ggo, j'ai parlé avec mon professeur aujourd'hui puis il m'a dit que finalement come on est sur un repere je pouvais placé mon point A sur l'origine mon point B sur l'axe des abscisses et le point c oui il n'est pas définit.
donc l'affixe de a=0 et l'affixe de b=i et c =x+iy car il n'est pas définit donc finalement j'ai:
p=(c-b)*e^(-ipi/3)+b
q=(c-a)*e^(-ipi/3)+a
r=(b-a)*e^(-ipi/3)+a
je calcule:
v=(a+c+q)/3=(a+c+(c-a)*e^(-ipi/3)+a)/3=(c+(c-a)*e^(-ipi/3))/3
est-que ceci est correct...?

[gg0]

Bonjour.

Il y a une erreur pour q (j'ai mal vérifié hier).
En fait, pour passer de p à q, on remplace B par C, C par A et P par Q, donc il suffit de remplacer dans la formule b par c, c par a et p par q : q=(a-c)e^(-i pi/3)+c
Et on fait de même pour r : r=(b-a)e^(-i pi/3)+a

Suis mon conseil :
(u+v+w)/3 = ...
dans un premier temps tu utilises a, b, c et p, q, r pour calculer, puis ensuite, ensuite seulement, tu remplaces p, q et r par leurs valeurs.
C'est un calcul un peu lourd (mais diviser par 9 c'est multiplier par 1/9, ce qui allège l'écriture), mais sans difficulté réelle, il suffit de faire attention. Fais-le soigneusement, le critère de la réussite, c'est que tu trouves (a+b+c)/3.
Inutile d'essayer de l'écrire ici, en copiant on a toutes les chances d'introduire des erreurs.

Cordialement.

[invite357cc385]

mais comment je démontre que q=(a-c)e^(-i pi/3)+c...?

[gg0]

Manifestement,

tu n'as pas lu !

[invite357cc385]

Désolé c'est que je suis un peu perdu avec tous ces calculs.
Ce que je dois faire c'est ceci alors:
(u+v+w)/3=(2a+2b+2c+p+q+r)/9...?
mias vous m'avez dit que mon expresiion de q est fausse et vous me l'avez corrigé mais je n'ai pas compris comment vous avez fait pour trouver que q=(a-c)e^(-i pi/3)+c.
car moi pour trouver q au début j'avais fait :
zAC/zAQ=(AC/AQ)*e^(ipi/3)
donc zAC/ZAQ=e^(ipi/3)
ZAC=ZAQ*e^(ipi/3)
c-a=(q-a)*e^(ipi/3)
donc q =(c-a)*e^(-ipi/3)+a
je vois pas ou est -ce que je me suis tromper, je ne le vois pas et je ne sis comment etes vous arrivez a q=(a-c)e^(-i pi/3)+c. ...?
Désolé :s

[gg0]

C'est simplement que l'angle n'est pas le bon. Dans l'exponentielle complexe, l'angle est un angle orienté.
Je n'ai pas ta figure, mais l'angle qui est dans le bon sens doit être entre CA et CQ.

En fait, on tourne autour de ABC, donc comme je te l'ai expliqué, il suffit, pour passer d'une formule à la suivante de "tourner", c'est à dire remplacer A par B, B par C et C par A. Vérifie que ça remplace bien la définition de P par celle de Q, celle de Q par celle de R et celle de R par celle de P. On parle dans ce cas de "permutation circulaire", et on gagne un grand temps de recherche, puisque la démonstration d'une formule donne immédiatement les deux autres.
Enfin, à la fin, dans ton calcul,
(u+v+w)/3=(2a+2b+2c+p+q+r)/9...
il est logique que a, b et c jouent le même rôle. 2a+2b+2c, c'est bon, mais dans p+q+r, on doit aussi avoir une situation équilibrée entre les lettres a, b et c quand on remplace. Avec tes formules, ce n'est pas le cas.

Cordialement.