Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

[invitee68598ae]

Ben je ne peux pas dérivé étant donné que dans ce cas u serait négatif...
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[PlaneteF]

Ben je ne peux pas dérivé étant donné que dans ce cas u serait négatif...

Déjà, attention aux parenthèses, il faut écrire .

Maintenant où est le problème ??? ... Ici tu as avec donc , dans quel film tu vois négatif

[invite8ac20103]

Pour x:

Pour -x:

J'ai retirer tes phrases ou tu te dis que tu as faux..

Dans les 2 cas tu as bien h'(x) = ln(x).

Je dis bien dans les 2 cas car si :

x>0, tu n'as pas de pb
x<0, tu as un soucis avec -x mais -x >0 !! donc tu peux mettre une autre variable si tu veux, tu pose y= -x, donc y>0 et tu as une nouvelle fois h'(y) = ln(y) .

Je simplifie tes expressions de h' (x) car écrire -1 + ln(x) + x . (1/x) c'est te compliquer la vie..

Tu commence a comprendre?

[PlaneteF]

Tu as 2 petites coquilles d'écriture :

Dans les 2 cas tu as bien h'(x) = ln(x).

x<0, tu as un soucis avec -x mais -x >0 !! donc tu peux mettre une autre variable si tu veux, tu pose y= -x, donc y>0 et tu as une nouvelle fois h'(y) = ln(y) .

[invitee68598ae]

Je viens de comprendre en effet, je me suis emmêlé les pinceaux avec -x et x<0 donc oui u est positif et l'expression fonctionne, par contre Blead merci pour ton conseil mais je ne pense pas arriver à simplifier mes expressions pour l'instant...

Donc si je comprends bien

Pour x:

Pour -x:


Maintenant que j'ai les deux dérivée, je peux faire le tableau de signe et le sens de variation, je me met à l'ouvrage !

[PlaneteF]

Pour x:

Pour -x:

Ne met pas des "pour x" et "pour -x", cela ne veut rien dire.

Il faut écrire :

Si , alors

Si , alors

Conclusion : Pour tout ,

[invitee68598ae]

Désolé pour la notation, donc pour tout ,

Donc le tableau de signe est :

_____-infinie_-1___0___1___+infinie
ln |x|___-____0_+_||_-_0___+

(désolé si il ne ressemble à rien)

Je ne vois pas comment faire les courbes sur ordinateur mais h(x) est décroissante sur l'intervalle , croissante sur l'intervalle et décroissante sur l'intervalle puis croissante sur l'intervalle

Je vois pas comment faire après... Les deux solutions sont elles 1 et -1 ? J'ai pensé en premier lieu aux deux zéros mais ils ne forment pas deux solutions réelles... je ne sais pas si ce que je raconte est très clair

[PlaneteF]

h(x) est décroissante sur l'intervalle

Faux

croissante sur l'intervalle

Faux

et décroissante sur l'intervalle

Oui

puis croissante sur l'intervalle

Oui


N.B. : "Infini" sans "e" à la fin

[invitee68598ae]

Ah d'accord je viens de comprendre pourquoi j'ai faux, au départ j'ai fait un tableau comme celui-ci :

_____-infini__-1___0___1___+infini
ln |x|___+____0_-_||_-_0___+

Puis ensuite je me suis dis que la fonction était paire et qu'il fallait inversé les signes... alors qu'on étudiait pas le sens de variation en premier lieu mais le signe des résultats de la dérivée, bref je me suis encore emmêlé les pinceaux, comme quoi le premier avis est toujours le meilleur (ou quelque chose comme ça)


Donc h(x) est croissante sur l'intervalle , décroissante sur l'intervalle et sur l'intervalle puis croissante sur l'intervalle (au passage merci pour les corrections sur l'écriture, j'apprécie !)

Bon je ferrais la suite demain, il faut peut-être prouver que la fonction coupe deux fois l'axe des abscisses ou quelque chose comme ça ?

[PlaneteF]

Bon je ferrais la suite demain, il faut peut-être prouver que la fonction coupe deux fois l'axe des abscisses ou quelque chose comme ça ?

Comme te l'a indiqué Duke Alchemist dans son message#3, il y a une solution évidente.

Pour démontrer l'existence de l'autre solution, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (dans son cas particulier "Théorème de Bolzano").

[invitee68598ae]

Je viens de regarder le théorème de Bolzano:

"Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et à valeurs réelles, alors l'image f(I) est un intervalle.
Cas particulier (Théorème de Bolzano) :
si f(a) et f(b) ne sont pas de même signe, il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = 0 (car 0 est compris entre f(a) et f(b))."

Étant donné que h(x) est croissante sur l'intervalle puis croissante sur l'intervalle alors il existe forcément un réel en h(x) = 0 (la limite inférieure est -infini alors que la limite supérieure est +infini)

Petite question: h(x) n'est pas définie en x(0), on ne peut donc dire que la fonction est continue sur l'intervalle I, donc il n'existe pas forcément de point en f(0) ?

Je pensais faire la même chose avec les intervalles ]-infini ; 0-[ et ]0+ ; +infini[ mais les signes ne sont pas de sens opposé dès lors que l'on réfléchis à leurs limites


Pour la racine évidente c'est 1 ? ça me parait assez évident en regardant l'expression (surtout quand on sait que ln 1=0) mais je ne pense pas que ce genre de raisonnement fonctionne en maths

[PlaneteF]

Je pensais faire la même chose avec les intervalles ]-infini ; 0-[ et ]0+ ; +infini[ mais les signes ne sont pas de sens opposé dès lors que l'on réfléchis à leurs limites

Puisque alors (conséquence immédiate de la définition de la limite), et puisque , cela te donne un intervalle (cela pourrait en être un autre) pour appliquer le TVI.

Pour la racine évidente c'est 1 ? ça me parait assez évident en regardant l'expression (surtout quand on sait que ln 1=0) mais je ne pense pas que ce genre de raisonnement fonctionne en maths

De toute manière intervient dans l'étude de la fonction puisque l'on a vu qu'il annule la dérivée, donc pour compléter l'étude tu dois forcément calculer qui vaut .