Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

[invitee68598ae]

Bonsoir, je sollicite votre aide pour un exercice

Le problème : "On considère la fonction h(x) = 1 - x + x ln |x|
Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réelles."

Bon comme trop souvent je ne vois pas trop comment aborder le problème, si il faut trouver deux solutions réelles pour h(x) = 0 je pense qu'il faut simplifier de manière à obtenir une équation du second degrés, hors je vois sur ma feuille qu'en cours j'avais commencé par dérivé la fonction et délimiter son domaine de définition :

Df = R*
h'(x) = x + ln |x| + x (1/x)
(j'ai pas vérifié si c'est correct)

Pourriez vous m'aiguiller pour savoir qu'elle méthode je dois utiliser, ou si au contraire je fais complétement fausse route ? merci
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[PlaneteF]

h'(x) = x + ln |x| + x (1/x)
(j'ai pas vérifié si c'est correct)

Bonsoir, ... Il y a une erreur dans ton calcul de .

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1. Tu ne peux pas obtenir une équation du second degré.
2. Il y a malgré tout une solution évidente.
3. La deuxième solution ne peut pas être trouvée de manière analytique.

L'étude de la fonction h est la meilleure méthode encore faut-il avoir la bonne dérivée...

Duke.

[invitee68598ae]

Merci pour les précisions, je commence par le calcul de la dérivée pour que tous ne soit pas faux ensuite

Bonsoir, ... Il y a une erreur dans ton calcul de .

Je viens de refaire le calcul et j'aboutis exactement au même résultat !
h(x) = 1 - x + x ln |x|

Je commence par virer le 1
- x + x ln |x|

- x = - 1 * x je vire le signe négatif (-1)
x + x ln |x|

Je veux ensuite dérivé l'expression x ln |x| j'utilise donc la formule (uv)' = u'v+uv'
x + ln |x| + x (1/x)

Je retombe donc sur mes pattes, où ai-je faux ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gerald_83]

Bonsoir,

C'est faux. Quelle est la dérivée de -x ?

[gg0]

Bonsoir TroisPlusQuatre.

Drôle de façon de dériver. je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi tu ne vires aps tout, ce serait plus simple.

h(x) est une somme, on applique le règle de dérivation des sommes. -x=(-1)x est le produite d'une fonction qu'on sait dériver par une constante. on applique la règle (dérivée de af(x)). Etc.

Les écritures en maths sont seulement l'application de règles (à connaître). Si tu "vires", tu ne fais pas des maths.

Cordialement.

[invitee68598ae]

Bonsoir,

C'est faux. Quelle est la dérivée de -x ?

La dérivée de -x
(u+v)' = u' v + u v' et - x = -1 * x donc
x + -1 * 1
x -1

Donc x - 1 + ln |x| + x (1/x)

C'est ça ?

[gg0]

ça dérape grave :
(u+v)' = u' v + u v'

A ce niveau là, il ne te reste plus grand chose à faire, intellectuellement parlant !!

Mais je suis sûr que tu écris n'importe quoi, en attendant que quelqu'un écrive la bonne dérivée.

[invitee68598ae]

ça dérape grave :
(u+v)' = u' v + u v'

A ce niveau là, il ne te reste plus grand chose à faire, intellectuellement parlant !!

Mais je suis sûr que tu écris n'importe quoi, en attendant que quelqu'un écrive la bonne dérivée.

Je peux te jurer que c'est faux, si mes lacunes sont si importantes je ne vois pas trop ce que je peux faire, aller sur un autre forum ? ici ce sont des mathématiques niveau collège et lycée je ne pense pas pouvoir plus régresser...

[invitee68598ae]

Le problème c'est le signe + que j'ai rajouté par inadvertance ?

La dérivée de -x
(uv)' = u' v + u v' et - x = -1 * x donc
x + -1 * 1
x -1

Donc x - 1 + ln |x| + x (1/x)

La finalité est la même, je n'ai pas droit de faire des coquille, même en maths ?

[PlaneteF]

x + -1 * 1
x -1

Nan mais franchement, c'est quoi ces pseudo lignes de calcul ...

Que tu détailles tes calculs sur papier ou bien que tu fasses tout cela de tête, il faut structurer ton écriture ou ce que tu penses, parce que là tu t'embrouilles tout seul sur un truc archi simple, faute de rigueur, ... Donc en détaillant au maximum :



Je te laisse poursuivre de manière structurée

[invitee68598ae]

Mais franchement, c'est quoi ces hiéroglyphes ...

Que tu détailles tes calculs sur papier ou bien que tu fasses tout cela de tête, il faut structurer l'écriture ou ce que tu penses, parce que là c'est portnawak, ... Donc en détaillant au maximum :



Je te laisse poursuivre de manière structurée

Ah je m'excuse, j'aurais peut-être du utiliser le signe égale ainsi qu'un référant et les formules Latex ne serait pas du luxe

En tout cas je te remercie de m'aider, j'ai vraiment l'impression d'être à la ramasse... je vais essayer de bien réfléchir avant de faire la suite

[gerald_83]

Re

(uv)' = u' v + u v'

Ca c'est vrai, le reste de ton calcul est faux. Respire un bon coup et reprends depuis le début, à tête reposée, tu y verras plus clair

[PlaneteF]

Au fait TroisPlusQuatre, ... tu n'habiterais pas à Sète par hasard ?!!

[invitee68598ae]

Bon allez on s'accroche



Donc si je regarde ma feuille contenant les opérations des dérivées tu es passé de la première forme à la seconde grâce à la formule, j'imagine que c'est la première chose à faire lorsqu'on veut calculer une dérivée ?

Bref, maintenant il me suffit de déterminer la dérivée de chaque terme


Je ne pense pas me tromper jusque là


Bon je pense avoir compris pour celui là ! Si j'utilise la formule alors



Je réutilise la formule


Et si je remplace le tout j'obtiens :



J'ai une hésitation pour le dernier terme, dois-je mettre ou ?

[invitee68598ae]

Au fait TroisPlusQuatre, ... tu n'habiterais pas à Sète par hasard ?!!

Pas mal on ne me l'avait pas sortit encore

[PlaneteF]

Donc si je regarde ma feuille contenant les opérations des dérivées tu es passé de la première forme à la seconde grâce à la formule, j'imagine que c'est la première chose à faire lorsqu'on veut calculer une dérivée ?

C'est la première chose à faire si la fonction à dériver est une somme d'autres fonctions, ce qui est le cas ici, ... sinon on utilise pas cette formule.

Bon je pense avoir compris pour celui là ! Si j'utilise la formule alors

Ce que tu écris est juste, mais dans la pratique on ne fait jamais comme cela, on utilise directement la formule , et donc avec et , on a directement

J'ai une hésitation pour le dernier terme, dois-je mettre ou ?

Que vaut ?

[invitee68598ae]

je suppose, la valeur de x reste positive, non ?

[PlaneteF]

je suppose, (...)

Non c'est faux.

(...) la valeur de x reste positive, non ?

Le domaine de définition est , donc peut être strictement négatif.

[PlaneteF]

C'est la première chose à faire si la fonction à dériver est une somme d'autres fonctions, ce qui est le cas ici, ... sinon on utilise pas cette formule.

Je précise la fin de ma phrase "... sinon on utilise pas cette formule en première intention.".

Exemple : ... on utilise d'abord la dérivée de fonctions composées, la dérivée d'une somme vient après.

[invitee68598ae]

Non c'est faux.

Le domaine de définition est , donc peut être strictement négatif.

C'est vrai, maintenant que je le remarque sur ma feuille est marqué que si u à valeurs strictement positive, donc ça n'entre pas vraiment dans notre cas avec x pouvant être positif ou négatif

Pour le coup j'essaierai de plancher dessus demain, je suis fatigué, merci pour le coup de main en tout cas !

[PlaneteF]

C'est vrai, maintenant que je le remarque sur ma feuille est marqué que si u à valeurs strictement positive, donc ça n'entre pas vraiment dans notre cas avec x pouvant être positif ou négatif

Ben si, cela peut très bien rentrer dans notre cas avec qui est bien sur le domaine de définition !

[invitee68598ae]

Bon ok j'admets donc que peut-être une valeur positive ou négative mais que sera toujours une valeur strictement positive donc je peux faire
avec valeur strictement positive

Donc je peux appliquer la formule si u à valeurs strictement positive



Donc mon résultat était correct ? Non, j'ai l'impression que je tourne en rond, je ne vois pas pourquoi on devrait passer de alors que pourrait être une valeur négative mais qui une fois passé en valeur absolu deviendrait positive, dans l'expression de droite () , pourrait donc être négatif ?

Bon ne prenez pas en compte le dernier paragraphe si j'ai faux, j'ai beau relire tes messages PlaneteF je ne comprends toujours pas, quelqu'un pourrait-il m'apporter plus de précision sur la dérivée de ou plus spécifiquement sur celle de puisque j'ai l'impression que c'est là que ça bloque

[invite8ac20103]

Bonjour,

Quand tu écris ln(x), pour que cela soit défini il faut que x > 0.

Donc ln(x)' = 1/x inutile de mettre de valeur absolue.

Par contre quand tu cherche une primitive de 1/x la tu dois mettre ln|x| (mais peut etre que la notion de primitive t'es inconnue pour le moment )

Pour la fonction |x|, pour que ce soit clair dans ton esprit scinde le problème en 2.

Et à partir de la tu dérives les 2 expressions.

Cdt

[PlaneteF]

avec valeur strictement positive

Donc je peux appliquer la formule si u à valeurs strictement positive



Donc mon résultat était correct ?

Ben non, c'est faux, ... car quand tu écris cela tu considères à tort que ...

Or qui ne vaut pas pour

Regarde la courbe de la fonction , tu vois bien qu'elle est décroissante pour , donc sa dérivée ne peut pas être càd positive !

[invitee68598ae]

Bon je viens d'avoir cours de maths aujourd'hui et j'ai demandé au prof ce qu'il en pensait, comment je pouvais traiter le cas d'une dérivée en ...

Il a corrigé mon expression :

Mais il m'a aussi dit que le cas d'une dérivée en était compliqué etc... D'après ce que vous semblez me dire il faut en fait traiter la dérivée de deux manières pour x<0 et x>0 , si c'est vrai je ne pense pas qu'il voulait qu'on voit ce genre de choses...

Donc dois-je continuer avec l'expression qu'il m'a donné ou trouvez vous qu'il serait plus correcte de scinder le calcul en deux ?

[invite8ac20103]

Avec ce que planeteF et moi même t'avons donné, ou est-ce que tu bloque?

[invitee68598ae]

Avec ce que planeteF et moi même t'avons donné, ou est-ce que tu bloque?

Je suis désolé, le professeur semble m'avoir corrigé donc je voulais au moins connaitre votre avis sur la manière de procédé, bon après avoir cogité un peu je me rend compte que si j'emploie votre méthode j'utiliserais également celle du prof, donc il ne semble pas y avoir de problème particulier... bon en fait si, je n'arrive pas à dérivé pour x < 0 :



Pour x:

Pour -x:

Hors, la formule ne fonctionne que si u est strictement positif ! Ça ne marche donc pas

J'ai essayé de modifier en d'après la formule pour isoler une partie du problème mais j'ai encore un ln négatif impossible à dérivée

[invitee68598ae]

Ce n'est peut-être pas assez complet

Pour x:

J'obtiens


Pour -x:

J'obtiens... ben rien, je ne vois pas comment faire (voir au dessus)

[PlaneteF]

Hors, la formule ne fonctionne que si u est strictement positif ! Ça ne marche donc pas

Qu'est-ce qui ne marche pas