Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles
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Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles



  1. #1
    TroisPlusQuatre

    Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles


    ------

    Bonsoir, je sollicite votre aide pour un exercice

    Le problème : "On considère la fonction h(x) = 1 - x + x ln |x|
    Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réelles."

    Bon comme trop souvent je ne vois pas trop comment aborder le problème, si il faut trouver deux solutions réelles pour h(x) = 0 je pense qu'il faut simplifier de manière à obtenir une équation du second degrés, hors je vois sur ma feuille qu'en cours j'avais commencé par dérivé la fonction et délimiter son domaine de définition :

    Df = R*
    h'(x) = x + ln |x| + x (1/x)
    (j'ai pas vérifié si c'est correct)

    Pourriez vous m'aiguiller pour savoir qu'elle méthode je dois utiliser, ou si au contraire je fais complétement fausse route ? merci

    -----

  2. #2
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    h'(x) = x + ln |x| + x (1/x)
    (j'ai pas vérifié si c'est correct)
    Bonsoir, ... Il y a une erreur dans ton calcul de .
    Dernière modification par PlaneteF ; 21/01/2013 à 21h41.

  3. #3
    Duke Alchemist

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bonsoir.

    1. Tu ne peux pas obtenir une équation du second degré.
    2. Il y a malgré tout une solution évidente.
    3. La deuxième solution ne peut pas être trouvée de manière analytique.

    L'étude de la fonction h est la meilleure méthode encore faut-il avoir la bonne dérivée...

    Duke.
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 21/01/2013 à 21h43.

  4. #4
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Merci pour les précisions, je commence par le calcul de la dérivée pour que tous ne soit pas faux ensuite

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Bonsoir, ... Il y a une erreur dans ton calcul de .
    Je viens de refaire le calcul et j'aboutis exactement au même résultat !
    h(x) = 1 - x + x ln |x|

    Je commence par virer le 1
    - x + x ln |x|

    - x = - 1 * x je vire le signe négatif (-1)
    x + x ln |x|

    Je veux ensuite dérivé l'expression x ln |x| j'utilise donc la formule (uv)' = u'v+uv'
    x + ln |x| + x (1/x)

    Je retombe donc sur mes pattes, où ai-je faux ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gerald_83

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bonsoir,

    C'est faux. Quelle est la dérivée de -x ?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bonsoir TroisPlusQuatre.

    Drôle de façon de dériver. je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi tu ne vires aps tout, ce serait plus simple.

    h(x) est une somme, on applique le règle de dérivation des sommes. -x=(-1)x est le produite d'une fonction qu'on sait dériver par une constante. on applique la règle (dérivée de af(x)). Etc.

    Les écritures en maths sont seulement l'application de règles (à connaître). Si tu "vires", tu ne fais pas des maths.

    Cordialement.

  8. #7
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par gerald_83 Voir le message
    Bonsoir,

    C'est faux. Quelle est la dérivée de -x ?
    La dérivée de -x
    (u+v)' = u' v + u v' et - x = -1 * x donc
    x + -1 * 1
    x -1

    Donc x - 1 + ln |x| + x (1/x)

    C'est ça ?

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    ça dérape grave :
    (u+v)' = u' v + u v'

    A ce niveau là, il ne te reste plus grand chose à faire, intellectuellement parlant !!

    Mais je suis sûr que tu écris n'importe quoi, en attendant que quelqu'un écrive la bonne dérivée.

  10. #9
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    ça dérape grave :
    (u+v)' = u' v + u v'

    A ce niveau là, il ne te reste plus grand chose à faire, intellectuellement parlant !!

    Mais je suis sûr que tu écris n'importe quoi, en attendant que quelqu'un écrive la bonne dérivée.
    Je peux te jurer que c'est faux, si mes lacunes sont si importantes je ne vois pas trop ce que je peux faire, aller sur un autre forum ? ici ce sont des mathématiques niveau collège et lycée je ne pense pas pouvoir plus régresser...

  11. #10
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Le problème c'est le signe + que j'ai rajouté par inadvertance ?

    La dérivée de -x
    (uv)' = u' v + u v' et - x = -1 * x donc
    x + -1 * 1
    x -1

    Donc x - 1 + ln |x| + x (1/x)

    La finalité est la même, je n'ai pas droit de faire des coquille, même en maths ?

  12. #11
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    x + -1 * 1
    x -1
    Nan mais franchement, c'est quoi ces pseudo lignes de calcul ...

    Que tu détailles tes calculs sur papier ou bien que tu fasses tout cela de tête, il faut structurer ton écriture ou ce que tu penses, parce que là tu t'embrouilles tout seul sur un truc archi simple, faute de rigueur, ... Donc en détaillant au maximum :



    Je te laisse poursuivre de manière structurée
    Dernière modification par PlaneteF ; 21/01/2013 à 22h47.

  13. #12
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Mais franchement, c'est quoi ces hiéroglyphes ...

    Que tu détailles tes calculs sur papier ou bien que tu fasses tout cela de tête, il faut structurer l'écriture ou ce que tu penses, parce que là c'est portnawak, ... Donc en détaillant au maximum :



    Je te laisse poursuivre de manière structurée
    Ah je m'excuse, j'aurais peut-être du utiliser le signe égale ainsi qu'un référant et les formules Latex ne serait pas du luxe

    En tout cas je te remercie de m'aider, j'ai vraiment l'impression d'être à la ramasse... je vais essayer de bien réfléchir avant de faire la suite

  14. #13
    gerald_83

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Re

    (uv)' = u' v + u v'
    Ca c'est vrai, le reste de ton calcul est faux. Respire un bon coup et reprends depuis le début, à tête reposée, tu y verras plus clair

  15. #14
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Au fait TroisPlusQuatre, ... tu n'habiterais pas à Sète par hasard ?!!
    Dernière modification par PlaneteF ; 21/01/2013 à 23h36.

  16. #15
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bon allez on s'accroche



    Donc si je regarde ma feuille contenant les opérations des dérivées tu es passé de la première forme à la seconde grâce à la formule, j'imagine que c'est la première chose à faire lorsqu'on veut calculer une dérivée ?

    Bref, maintenant il me suffit de déterminer la dérivée de chaque terme


    Je ne pense pas me tromper jusque là


    Bon je pense avoir compris pour celui là ! Si j'utilise la formule alors



    Je réutilise la formule


    Et si je remplace le tout j'obtiens :



    J'ai une hésitation pour le dernier terme, dois-je mettre ou ?

  17. #16
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Au fait TroisPlusQuatre, ... tu n'habiterais pas à Sète par hasard ?!!
    Pas mal on ne me l'avait pas sortit encore

  18. #17
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    Donc si je regarde ma feuille contenant les opérations des dérivées tu es passé de la première forme à la seconde grâce à la formule, j'imagine que c'est la première chose à faire lorsqu'on veut calculer une dérivée ?
    C'est la première chose à faire si la fonction à dériver est une somme d'autres fonctions, ce qui est le cas ici, ... sinon on utilise pas cette formule.


    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message

    Bon je pense avoir compris pour celui là ! Si j'utilise la formule alors
    Ce que tu écris est juste, mais dans la pratique on ne fait jamais comme cela, on utilise directement la formule , et donc avec et , on a directement


    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    J'ai une hésitation pour le dernier terme, dois-je mettre ou ?
    Que vaut ?
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 00h10.

  19. #18
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    je suppose, la valeur de x reste positive, non ?

  20. #19
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    je suppose, (...)
    Non c'est faux.


    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    (...) la valeur de x reste positive, non ?
    Le domaine de définition est , donc peut être strictement négatif.
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 00h21.

  21. #20
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    C'est la première chose à faire si la fonction à dériver est une somme d'autres fonctions, ce qui est le cas ici, ... sinon on utilise pas cette formule.
    Je précise la fin de ma phrase "... sinon on utilise pas cette formule en première intention.".

    Exemple : ... on utilise d'abord la dérivée de fonctions composées, la dérivée d'une somme vient après.
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 00h31.

  22. #21
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Non c'est faux.

    Le domaine de définition est , donc peut être strictement négatif.
    C'est vrai, maintenant que je le remarque sur ma feuille est marqué que si u à valeurs strictement positive, donc ça n'entre pas vraiment dans notre cas avec x pouvant être positif ou négatif

    Pour le coup j'essaierai de plancher dessus demain, je suis fatigué, merci pour le coup de main en tout cas !

  23. #22
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    C'est vrai, maintenant que je le remarque sur ma feuille est marqué que si u à valeurs strictement positive, donc ça n'entre pas vraiment dans notre cas avec x pouvant être positif ou négatif
    Ben si, cela peut très bien rentrer dans notre cas avec qui est bien sur le domaine de définition !
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 00h40.

  24. #23
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bon ok j'admets donc que peut-être une valeur positive ou négative mais que sera toujours une valeur strictement positive donc je peux faire
    avec valeur strictement positive

    Donc je peux appliquer la formule si u à valeurs strictement positive



    Donc mon résultat était correct ? Non, j'ai l'impression que je tourne en rond, je ne vois pas pourquoi on devrait passer de alors que pourrait être une valeur négative mais qui une fois passé en valeur absolu deviendrait positive, dans l'expression de droite () , pourrait donc être négatif ?

    Bon ne prenez pas en compte le dernier paragraphe si j'ai faux, j'ai beau relire tes messages PlaneteF je ne comprends toujours pas, quelqu'un pourrait-il m'apporter plus de précision sur la dérivée de ou plus spécifiquement sur celle de puisque j'ai l'impression que c'est là que ça bloque

  25. #24
    Blead

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bonjour,

    Quand tu écris ln(x), pour que cela soit défini il faut que x > 0.

    Donc ln(x)' = 1/x inutile de mettre de valeur absolue.

    Par contre quand tu cherche une primitive de 1/x la tu dois mettre ln|x| (mais peut etre que la notion de primitive t'es inconnue pour le moment )

    Pour la fonction |x|, pour que ce soit clair dans ton esprit scinde le problème en 2.

    Et à partir de la tu dérives les 2 expressions.

    Cdt
    Dernière modification par Blead ; 22/01/2013 à 12h49.

  26. #25
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    avec valeur strictement positive

    Donc je peux appliquer la formule si u à valeurs strictement positive



    Donc mon résultat était correct ?
    Ben non, c'est faux, ... car quand tu écris cela tu considères à tort que ...

    Or qui ne vaut pas pour

    Regarde la courbe de la fonction , tu vois bien qu'elle est décroissante pour , donc sa dérivée ne peut pas être càd positive !
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 14h02.

  27. #26
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Bon je viens d'avoir cours de maths aujourd'hui et j'ai demandé au prof ce qu'il en pensait, comment je pouvais traiter le cas d'une dérivée en ...

    Il a corrigé mon expression :

    Mais il m'a aussi dit que le cas d'une dérivée en était compliqué etc... D'après ce que vous semblez me dire il faut en fait traiter la dérivée de deux manières pour x<0 et x>0 , si c'est vrai je ne pense pas qu'il voulait qu'on voit ce genre de choses...

    Donc dois-je continuer avec l'expression qu'il m'a donné ou trouvez vous qu'il serait plus correcte de scinder le calcul en deux ?

  28. #27
    Blead

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Avec ce que planeteF et moi même t'avons donné, ou est-ce que tu bloque?

  29. #28
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par Blead Voir le message
    Avec ce que planeteF et moi même t'avons donné, ou est-ce que tu bloque?
    Je suis désolé, le professeur semble m'avoir corrigé donc je voulais au moins connaitre votre avis sur la manière de procédé, bon après avoir cogité un peu je me rend compte que si j'emploie votre méthode j'utiliserais également celle du prof, donc il ne semble pas y avoir de problème particulier... bon en fait si, je n'arrive pas à dérivé pour x < 0 :



    Pour x:

    Pour -x:

    Hors, la formule ne fonctionne que si u est strictement positif ! Ça ne marche donc pas

    J'ai essayé de modifier en d'après la formule pour isoler une partie du problème mais j'ai encore un ln négatif impossible à dérivée

  30. #29
    TroisPlusQuatre

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Ce n'est peut-être pas assez complet

    Pour x:

    J'obtiens


    Pour -x:

    J'obtiens... ben rien, je ne vois pas comment faire (voir au dessus)

  31. #30
    PlaneteF

    Re : Montrer que l'équation h(x) = 0 admet deux solutions réeles

    Citation Envoyé par TroisPlusQuatre Voir le message
    Hors, la formule ne fonctionne que si u est strictement positif ! Ça ne marche donc pas
    Qu'est-ce qui ne marche pas
    Dernière modification par PlaneteF ; 22/01/2013 à 21h08.

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