La série harmonique

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir!

À nouveau dans le thème de suites et limites, nous étudions la série harmonique et devons montrer qu'elle diverge.

Nous avons déjà montrer le fait qu'elle n'est pas une suite de Cauchy, donc qu'elle diverge, mais nous devons montrer par une autre méthode....

Soit la suite harmonique (je vous passerai la définition )

(i) Déterminer la valeur de l'entier K tel que pour tout

(ii) Déterminer la valeur de l'entier L tel que pour tout

(iii) Déterminer la valeur de l'entier M tel que pour tout

(iv) Soit . Déterminer la valeur de l'entier N tel que pour tout .

Ce résultat implique que la suite tend vers .

J'ai pensé à la méthode barbare de calculer n après n jusqu'à trouver la solution, mais pour (iii) je sais pas si c'est pas la bonne technique, vu qu'il faut aller jusqu'à 31 (j'ai trouvé ça grâce à un site )...

Vos conseils pour bien partir?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

On peut répondre en utilisant une comparaison avec la fonction ln. Mais à ma connaissance, "la valeur de l'entier N tel que pour tout " est très difficilement calculable pour k très grand, par exemple pour k=10000. Enfin, si on l'interprète comme " le plus petit N", car le fait d'écrire "l'entier N" signifie qu'il n'y en a qu'un, alors qu'il y en a une infinité possible : si N convient, pour tout entier M supérieur à N, .

Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Je suis troublé par votre énoncé : "(i) Déterminer la valeur de l'entier K tel que ..." qui sous-entend que c'est la plus petite valeur de K qu'il faut chercher, et non une valeur de K (ce qui simplifierais beaucoup les choses pour la question (iv)

[invitebbd6c0f9]

@gg0 : Je ne comprends pas "la fonction ln"...

Qu'est-ce? J'ai pu lire qu'il s'agissait du "logarithme naturel", mais ne sachant pas ce que c'est (pas vu au cours), n'arrivant pas à comprendre l'article wikipedia, je n'arrive pas à comprendre la signification dans le contexte....

Je pense que l'on peut établir des formules pour des nombres 'k' petits, pas besoin de se compliquer avec des nombres trop grands...

(@Médiat) Ensuite, cela n'est pas dit, mais on cherche bien LE plus petit K, L, M ou N.

J'espère vous avoir mieux expliqué les conditions, je cherche toujours comment résoudre, mais j'ai de la peine...

Une astuce?

Déjà merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Si vous n'avez pas vu la fonction ln en cours, ne vous en servez pas. De toutes façons vous auriez besoin d'appliquer certains théorèmes concernant la fonction ln que vous ne connaissez pas, pour avoir le droit de les utiliser il vous faudrait les démontrer sur votre copie (comptez une dizaine de pages ^^).

Calculez le terme exact à partir duquel la somme dépasse un entier donné est particulièrement difficile, ça revient à calculer la somme elle-même. En revanche ce que vous pouvez faire c'est calculer un entier N tel que si n≥N alors x_n≥k, vous n'aurez aucune garantie que ce N est minimal, mais vous n'en avez absolument pas besoin pour montrer que (x_n) diverge.

Pour faire une majoration de x_n vous pouvez regardez des "paquets" de termes. Par exemple x₄= 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) ≥ 1 + 1/2 + (1/4 + 1/4) = 1 + 1/2 + 1/2
En prenant des paquets de 2ⁿ termes vous pouvez vous assurez que chaque paquet vaut plus de 1/2.

P.S : L'idée d'utiliser la fonction ln vient du fait que cette fonction est une primitive de 1/x et elle permet dans ce contexte de comparer la somme des 1/n sur les entier à l'intégrale des 1/x sur les réels. Mais comme je l'ai dit vous n'avez ni besoin ni intérêt à vous orienter sur cette voie, si vous ne comprenez pas ce dont je viens de parler, ce n'est pas grave.

[invitebbd6c0f9]

Merci pour cette excellente méthode! Il me semble l'avoir déjà vu anciennement et elle me semble tout à fait adapté à mon niveau

La donnée ne précisant pas, je peux déduire que nous ne sommes pas obligés de calculer le rang minimal, ce résultat conviendra parfaitement!

Et effectivement, je n'ai encore rien vu de tout ce qui est logarithme, dérivée, primitive, intégrale, etc...

Je les verai l'année prochaine, je me réjouis! (Ou pas! )

Merci pour l'astuce (encore une fois, un ÉNORME merci!)

Cordialement,

Brazeor

[invitebbd6c0f9]

Juste pour voir si j'ai bien compris, je vous mets le script de mon exercice :

(i) On a : .

Donc, , donc .

(ii) On a : .

Donc, , donc .

(iii) Raisonnement analogue : je ne le note pas par soucis de temps, mais l'explication est la même....

(iv) À suivre bientôt...

[invitebbd6c0f9]

(iv) Rédigé! :

On a : … . Donc, (donc ) et donc, .

Petite note pour le plaisir : , donc la suite diverge.

Est-ce bien juste? Je suis à peu près sûr, me semble juste et mes vérifications le confirment...

Encore merci

Cordialement,

Brazeor

P.S. : Désolé pour le changement de ligne, je n'arrive pas à corriger, mais je suis sur mobile, je galère à écrire toutes les commandes à la main :P

[invitebbd6c0f9]

Ça serait sûrement abuser de vous, je ne sais pas si j'ai le droit.. Aidez-moi!

L'exercice suivant traîte du problème de Bâle (une suite quoi! Au cas où, ici )

Ma démonstration à laquelle je bloque est la suivante :

En sachant que (j'ai réussi cette démonstration ), montrer que pour tout (bien sûr, est la suite du problème de Bâle)

J'ai essayé de mettre en évidence dans , pour essayer de le faire passer de l'autre côté, mais sans succès...

Des idées?

Merci de toute réponse (désolé si je suis un peu répétitif, mais j'apprécie votre soutien toujours énormément!)

P.S. Je dois rendre cette série pour demain midi, si vous arriviez à répondre avant, je vous adorerais :P

Mais sinon, c'est pas grave, j'en discute avec vous volontiers après

de l'aide! Un énorme merci! (Quand je vous dis que je suis répétitif :P )

Brazeor

[gg0]

Bonjour.

Il y a une erreur dans ton ii. Dans l'inégalité finale, il y a 16 termes à droite, à comparer avec 32 à gauche. Ce qui ne marche pas.
Donc méthode à revoir ...

Autre chose : C'est quoi "le problème de Bâle" ?

Cordialement.

[invitebbd6c0f9]

La suite de Bâle est définie par

Où vois-tu 32 termes? Je ne comprends pas vraiment....

[gg0]

Désolé, j'étais mal réveillé ! Tu as raison.

Pour "Bâle", regarde ce que donne une addition de termes successifs de la forme (par exemple faire varier k de 2 à 5). On appelle ça une somme télescopique.

Cordialement.

[invitebbd6c0f9]

Merci beaucoup! Je chercherai plus affrondi, je reviendrai ce soir avec mes explications.

Merci gg0!

[invitebbd6c0f9]

Bah en fait, j'ai trouvé définitivement, je crois que c'est bon!

Merci à vous!