Série harmonique

[invitecef3c426]

Bonsoir,

Je bloque à la 2ème et 3ème question sur l exercice suivant:

2) Donner un équivalent de somme(1/k) pour k allant de 1 à n.

Juste avant j'ai montré une inégalité en encadrant cette somme par: int(1/t dt) de 1 à n+1 --->minorant et 1+ int(1/t dt) de 1 à n

Donc pour l'équivalent ai je le droit de prendre : ln n ou ln (n+1) ?
Ou alors dois je calculer une valeur approché de cette somme, en utilisant le reste d'ordre N ?

3) On pose: an=-ln n +somme(1/k) de 1 à n et bn=-ln(n+1) + somme(1/k) de 1 à n. Montrez que les suites an et bn sont adjacentes (leur limite commune, notée y, est appelée la constante d'euler y=0.57. On peut donc écrire somme (1/k) de 1 à n=ln n +y + o(1)) On ignore si cette constante est rationnelle ou non .

Ici si on fait an+1-an avec: somme (1/k) de 1 à n=ln n +y + o(1) ca donne 0 et bn+1-bn= 2ln(n+1) -ln n -ln(n+2) ---> avec dérivée on peut etudier le signe mais bon

Je pense qu'il ne faut pas faire ca, mais je ne vois pas quoi ?

Merci de vos réponses. Au revoir.
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[inviteea028771]

Pour la question 2, on te demande un équivalent.

Et comme , on a

Pour la question 3 :
- pour montrer que est croissante (au moins à partir d'un certain rang), il suffit de calculer , puis de faire un DL du logarithme (à l'ordre 1)
- pour montrer que est décroissante (au moins à partir d'un certain rang), de même, avec cette fois-ci un DL à l'ordre 2
- pour montrer que la différence tend vers 0, il suffit de calculer

[invitecef3c426]

Merci, mais comme je l'ai dit pour an+1 - an ça donne donc grâce aux equivalences trouvées en 2)

ln(n+1)-ln(n+1) -ln n +ln n soit 0 alors que pour bn+1-bn c'est bon car on aura du: ln(n+1)-ln(n+2) -ln (n+1)+ln(n+1) soit ln( 1-1/(n+2)) donc c'est bon pour ce calcul mais pas pour l autre.

[inviteea028771]

Il ne faut pas utiliser la question 2 ! (ni pour an ni pour bn)

[A voir en vidéo sur Futura]