Logarithme népérien

**invite14cee04b** · 08/02/2013, 14h37

Bonjour,
je me posais cette question à propos du logarithme népérien.
Pourquoi est-ce que l'on a ça,

$\text{[math]}$

Si vous pouviez m'expliquer, ce serait sympa,
merci d'avance,

Blender82

**poiop2** · 08/02/2013, 14h47

Bonjour,

Il s'agit d'une composition de fonctions.
On utilise donc la formule (f o g)' (x) = f'[g(x)] * g'(x)

La dérivée de ln(y) est 1/y . La dérivée de u/v, j'imagine que vous la connaissez. Je vous laisse faire le calcul !

invite51d17075 · 08/02/2013, 15h00

d'ailleurs, en appliquant ce qu'indique poiop2, tu verras que la formule est fausse !

**pallas** · 08/02/2013, 15h09

formule parfaitement fantaisiste!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51d17075 · 08/02/2013, 15h10

il faut une relation particulière entre u et v pour que la formule soit juste.
c'est peut être ce qu'on te demande.

**PlaneteF** · 08/02/2013, 18h35

Envoyé par Blender82

$\text{[math]}$

Bonsoir,

Par curiosité, tu sors ce truc là d'où

**invite14cee04b** · 12/02/2013, 10h29

D'un type minable (en maths mais dont le caractère tend à prendre pour vrai tout ce qu'il pense

), c'est tout bonnement pour cette raison qu'il faut s'en méfier.
Ben c'est bien ce que je me disais...
Si on revient à la base du logarithme népérien, on a que : $\text{[math]}$
Et il suffit de conjuguer à la dérivée d'un produit pour s'apperçevoir que c'est faux.
Je lui montrerai vos messages,
merci pour tout en tout cas !

Blender82

PS : le pire, c'est que c'est au programme de term ce truc...

inviteaf48d29f · 12/02/2013, 11h43

Vous pouvez par contre utiliser le fait que ln(u/v)=ln(u)-ln(v)
C'est plus facile à dériver une fois sous cette forme (même si c'est possible directement à partir de ln(u/v)), ça donne
$\text{[math]}$

Et on n'a pas en général $\text{[math]}$ même s'il peut exister certaines fonctions u et v particulières pour lesquelles c'est vrai (c'est une équation différentielle).

invite4842e1dc · 12/02/2013, 15h14

Salut

Je confirme le message de @S321

il faut utiliser le fait que

1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

2) SI $\text{[math]}$ la fonction $\text{[math]}$ est une fonction dérivable telle que $\text{[math]}$

ALORS on a :

$\text{[math]}$ on a :

$\text{[math]}$

inviteaf48d29f · 12/02/2013, 18h52

Envoyé par Ptitnoir-gris

on a :

$\text{[math]}$

Non, l'apostrophe n'est pas à la bonne place. Si vous écrivez ln'(w(x)) vous parlez de la fonction ln' (aka la fonction inverse) appliquée sur l'argument w(x). Donc $\text{[math]}$ . A ne pas confondre avec $\text{[math]}$ qui est bien l'expression dont vous parlez.

C'est à cause de ces confusions qui sont extrêmement courantes que je pense préférable de réserver l'apostrophe pour les notations fonctionnelles. Lorsqu'on utilise des expressions, l'opérateur $\text{[math]}$ est finalement bien plus commode. Sinon ça va très vite à ne plus savoir ce qu'on dérive ni par rapport à quoi.

invite4842e1dc · 12/02/2013, 19h17

Salut S321

Pour info en maths

- on peut noter une fonction dérivée par étant définie par l'expression $\text{[math]}$

- on a $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

- et on a $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

ps)
si tu n'es pas en accord avec ces différentes notations : merci de donner des références sur internet pour expliquer d'autres notations

D'après mes connaissances : $\text{[math]}$

invite4842e1dc · 12/02/2013, 19h29

D'après moi on peut noter : $\text{[math]}$

inviteaf48d29f · 12/02/2013, 20h26

Vous me demandez des références mais n'en donnez pas vous même. Je doute d'ailleurs que vous puissiez en trouver car vos notations ne sont pas cohérentes.

En effet on sait que ln'(x)=1/x, c'est à dire que ln' est la fonction inverse. Je pourrais donc écrire ln'=inv où "inv" est la fonction inverse.
Dans ce cas là ln'(w(x))=inv(w(x)), je n'ai absolument rien écrit d'exceptionnel et pourtant par définition de la fonction inverse : inv(w(x))=1/w(x)

Ce que vous dites c'est que (fog)' = f'og....

Envoyé par Ptitnoir-gris

- on peut noter une fonction dérivée par étant définie par l'expression $\text{[math]}$

Exact même s'il s'agit ici d'une notation fonctionnelle. Par définition les fonctions f' et $\text{[math]}$ sont égales. Vous avez tout à fait le droit de dire que lorsqu'on évalue ces deux fonctions on obtient des quantités égales (c'est équivalent à l'égalité des fonctions).
Comme je le disais, je recommande la plus grande précaution avec de telles égalités car ça mène facilement à des ambiguïtés, mais pour le moment c'est juste.

- et on a $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

C'est amusant car la quasi totalité des gens notent $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et pourtant j'aurai tendance à être d'accord avec vous. Puisque je réserve l'apostrophe pour la dérivation de fonctions et comme l'expression $\text{[math]}$ désigne aussi la fonction constante égale à $\text{[math]}$ , une apostrophe adjacente revient à dériver une fonction constante.
Et c'est précisément parce que cette notation est ambiguë et bien souvent mal utilisée que je suis d'avis de ne tous simplement pas l'utiliser.

$\text{[math]}$

Ça c'est n'importe quoi. L'expression de droite ne veut tout simplement rien dire. Vous avez parlez au début de votre message de $\text{[math]}$ , au numérateur vous avez "df" c'est à dire le caractère "d" suivi d'une fonction. Maintenant au numérateur de votre opérateur différentielle vous avez "df(w(x))" c'est à dire le caractère "d" suivi d'une expression. Ce n'est plus la même chose et n'entre plus dans le cadre de la définition précédente.
Lorsque vous notez $\text{[math]}$ vous dérivez l'expression f(w(x)) par rapport au paramètre x et le résultat est une expression en x. Vous ne pouvez pas écrire $\text{[math]}$ , le "(x)" à droite n'a pas de sens, on peut évaluer une fonction en x, pas une expression.

**PlaneteF** · 12/02/2013, 23h31

Bonsoir,

Après toutes ces considérations "apostrophiques"

, juste un petit zoom sur les parenthèses :

Envoyé par S321

$\text{[math]}$

Ecrit comme cela, perso je traduis $\text{[math]}$ plutôt par $\text{[math]}$ au même titre que $\text{[math]}$ ... mais je me demande s'il y a vraiment une convention là-dessus qui permet de s'affranchir de mettre explicitement des parenthèses ou crochets

**PlaneteF** · 13/02/2013, 08h16

Envoyé par PlaneteF

... mais je me demande s'il y a vraiment une convention là-dessus qui permet de s'affranchir de mettre explicitement des parenthèses ou crochets

Juste pour compléter cette phrase, déjà pas d’ambiguïté (et donc convention) pour $\text{[math]}$ qui veut bien dire $\text{[math]}$ et non pas $\text{[math]}$

inviteaf48d29f · 13/02/2013, 18h10

Tu as parfaitement raison, $\text{[math]}$ ne convient pas non plus. Ai-je déjà précisé que je n'aime pas du tout l'apostrophe comme notation pour la dérivation car ça mène facilement à des ambiguïtés ? ^^

En fait rien que $\text{[math]}$ est déjà un abus de notation et ce n'est pas véritablement une notation fonctionnelle. Elle est même tout ce qu'il y a de plus ambiguë, on a déjà dit qu'on notait $\text{[math]}$ la fonction produit de f par g. Or $\text{[math]}$ est une fonction de même $\text{[math]}$ que je peux aussi écrire $\text{[math]}$ . Le fait de rajouter des parenthèses ne change pas le fait que c'est une fonction.

Mais alors si j'écris $\text{[math]}$ est ce que je parle du produit de la fonction $\text{[math]}$ et de la fonction $\text{[math]}$ ou de la composée ?

**gg0** · 13/02/2013, 21h53

Bonsoir.

Il vaut mieux éviter des notations qui ont 2 interprétations possibles. Comme ln v' ou ln(v)' (bien qu'ici la parenthèse de fonction indique qu'on parle de ln(v) et le prime qu'on dérive ce qui précède).
De là à refuser des notations classiques et sans grand risque comme (ln(x))' pour la remplacer par une notation malsaine comme $\text{[math]}$ , il y a un (grand) écart.
Pourquoi malsaine ? Parce que dans l'écriture d'une pseudo fonction $\text{[math]}$ il y a un grand problème : f n'a pas de lien avec x ! Par exemple pour $\text{[math]}$ , comment comprendre $\text{[math]}$ ? Et que veut dire $\text{[math]}$ ? Sauf à prendre comme convention qu'il s'agit de la dérivée de ln et que le x est là seulement pour réapparaître éventuellement ensuite comme variable de l'expression de la dérivée ?

Quant à dire que "comme l'expression $\big ( ln \circ w (x) \big )$ désigne aussi la fonction constante égale à $\big ( ln \circ w (x) \big )$ ", c'est simplement oublier que dans les calculs de dérivées, on considère par convention le x comme la variable de dérivation (dérivation notée par le '), donc une expression contenant x symbolise la fonction correspondante. Ecrire (x²)'=2x est quand même plutôt synthétique, pour qui connait la convention d'écriture. Avec la notation de Leibnitz, c'est plus long.

A noter : On peut aussi dériver des expressions.

Cordialement.

NB : On trouve dans les formulaires pour le baccalauréat français ces notations ( genre (xⁿ)'=nx^n-1). Formulaires élaborés par les inspecteurs généraux de maths.

inviteaf48d29f · 13/02/2013, 22h17

Envoyé par gg0

De là à refuser des notations classiques et sans grand risque comme (ln(x))' pour la remplacer par une notation malsaine comme $\text{[math]}$ , il y a un (grand) écart.

Celle-là je ne l'utilise que très peu et presque exclusivement dans le cadre de fonctions de plusieurs variables. Si je l'ai reprise précédemment c'est parce que Ptitnoir-gris en parlait. Ce que je voulais dire c'est que je préfère la notation $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ lorsqu'il s'agit de dériver une expression et de réserver l'apostrophe à la dérivation de fonctions (d'une variable).

Je ne dis pas que l'utilisation d'une apostrophe pour dériver une expression est "faux" et encore moins que ce n'est pas une convention utilisée. Mais il faut s'assurer de savoir avec précision de quoi on parle et quand est-ce qu'on peut l'utiliser en toute sécurité. J'ai déjà vu nombre de personnes inattentives utiliser une apostrophe pour dériver une fonction des variables x et y.

Ecrire (xⁿ)'=nx^n-1 est tout à fait justifiable, mais ça présuppose des définitions implicites de x et de n qui jouent ici un rôle tout à fait différent. Tant qu'on sait bien de quoi on parle il n'y a pas de problème, mais j'ai déjà vu un de mes camarade de classe en licence répondre sx^s-1 pour la dérivée de x^s alors que la réponse était ln(x)x^s puisque la dérivation en question était par rapport à la variable s.

inviteaf48d29f · 13/02/2013, 22h24

Envoyé par gg0

ou ln(v)' (bien qu'ici la parenthèse de fonction indique qu'on parle de ln(v) et le prime qu'on dérive ce qui précède.

Si j'écris ln(v) les parenthèses indiques qu'on prend le résultat de v comme argument de ln mais si j'écris $\text{[math]}$ les parenthèses indiquent une multiplication et pas que le résultat de $\text{[math]}$ est prit comme argument de $\text{[math]}$ .
Ces notations ne posent pas vraiment de problème de compréhension, mais pourtant elles ne sont pas vraiment cohérentes.

invite4842e1dc · 14/02/2013, 10h00

On trouve dans les formulaires pour le baccalauréat français ces notations ( genre (xⁿ)'=nx^n-1). Formulaires élaborés par les inspecteurs généraux de maths.

Salut tout le monde

Ce message est juste une opinion personnelle sur l'utilisation de raccourci et le manque de "rigueur" dans la rédaction de réponses dites mathématiques

1) L'utilité d'un formulaire mathématique est de permettre de mémoriser différentes formules : d'où l'utilisation de temps en temps "de raccourcis" qui simplifient l'écriture de ces formules...

2) Par contre il faut essayer d'éviter d'utiliser "des raccourcis" quand on rédige un raisonnement dit mathématique

Exemple :

Il faut essayer d'éviter d'écrire : "Soit la fonction f(x)=3x-5 "

Même si c'est compréhensible et même si ce "raccourci" est souvent utilisé :

c'est une très mauvaise "habitude" qui finit par faire que de plus en plus d'élèves au lycée et d'étudiants en faculté ne connaissent plus les objets mathématiques qu'ils manipulent !

**invite14cee04b** · 14/02/2013, 10h32

Merci en tout cas à vous tous, les preuves mènent aux arguments... et donc le malentendu est dissipé.
Par contre, j'ai une question d'un autre ordre, mais toujours à propos du logarithme (plutôt de l'exponentielle).
Pourquoi pouvons nous écrire :

$\text{[math]}$

Du moins, pourquoi cette équation est-elle justifiée ?

Blender82

invite4842e1dc · 14/02/2013, 10h54

Re-salut

En appliquant le calcul de la limite :

$\text{[math]}$

tu devrais pouvoir retrouver l'expression

$\text{[math]}$

ps)
rappel : pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

invite8d4af10e · 14/02/2013, 12h25

Envoyé par Ptitnoir-gris

Re-salut

En appliquant le calcul de la limite :

$\text{[math]}$

Bonjour
alors là je ne suis pas du tout d'accord , du tout

je pense que tu voulais ~ en +00 en non en limite car lim x/n quand n->+00 ,donc 1+x/n ->1
je peux me tromper

inviteaf48d29f · 15/02/2013, 20h52

Envoyé par Ptitnoir-gris

$\text{[math]}$

Ça c'est faux. "n" est une variable muette à gauche et une variable globale à droite, l'égalité n'a donc pas de sens. Les expressions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont en effets équivalentes comme le dit Jamo, mais ce n'est pas une notion qu'on voit avant le bac. C'est donc interdit ici ^^.

Il faut exprimer que $\text{[math]}$ et ensuite partir de la croissance comparée $\text{[math]}$ pour montrer que $\text{[math]}$ ce qui permet de conclure.

**PlaneteF** · 15/02/2013, 21h24

Envoyé par S321

Mais alors si j'écris $\text{[math]}$ est ce que je parle du produit de la fonction $\text{[math]}$ et de la fonction $\text{[math]}$ ou de la composée ?

D'ailleurs lorsque l'on écrit Arccotan s'agit-il de la fonction "arccotangente" ou bien du produit de fonctions suivant : $\text{[math]}$

invite4842e1dc · 16/02/2013, 08h18

@jamo : oui tu as raison , désolé pour cette "boulette"...

@PlaneteF : Tu as l'air d'être en pleine forme : - )

**invite14cee04b** · 18/02/2013, 15h27

Envoyé par S321

Ça c'est faux. "n" est une variable muette à gauche et une variable globale à droite, l'égalité n'a donc pas de sens. Les expressions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont en effets équivalentes comme le dit Jamo, mais ce n'est pas une notion qu'on voit avant le bac. C'est donc interdit ici ^^.

Il faut exprimer que $\text{[math]}$ et ensuite partir de la croissance comparée $\text{[math]}$ pour montrer que $\text{[math]}$ ce qui permet de conclure.

Merci beaucoup pour la démonstration, elle était finalement, simple.
Mais comme on dit toujours qu'une question en suit une autre ;
"Comment peut-on prouver cette écriture SANS passer par l'utilisation de l'exponentielle et de sa réciproque ?" (parceque, là, c'est facile

et ça ne me dit toujours pas pourquoi c'est vrai !)
Est-ce que vous avez une autre idée de démonstration ?
Merci pour tout en tout cas !

Blender82

Logarithme népérien