Bonjour,
Je suis en 1ère S et j'ai un exposé en anglais à faire sur Cauchy mais bon, disons que même en français, je ne comprends pas ses théorèmes.
De plus je ne sais pas trop sur quel théorème m'orienter. Avez vous une idée ? (de préférence le plus connu).
Pourriez vous m'orienter dans mes recherches ou m'aider à mieux comprendre ses théorèmes.
Cordialement
Benji1996
Bonjour,
Certains théorèmes d'analyse réelle de cette liste sont tout à fait abordables.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci de votre réponse.
Mon problème c'est que l'exposé doit durer pas plus de 10/15min. Je ne peux donc présenter qu'un ou deux théorème maximum.
Mais quel(s) théorèmes seraient le plus abordable et intéressant pour des élèves de première S ?
Bonjour,
Parmi les notions intéressantes que vous pouvez aborder il y a celle des suites de Cauchy ce qui vous permet de voir la construction de l'ensemble des nombres réels et c'est une bonne introduction à la notion d'espace complet qui est fondamentale en analyse.
C'est bien celles que j'ai commencé à étudier mais nous venons juste d'aborder les suites en cours et je n'ai donc que très peu de notion.
Serait-il possible d'avoir une explication simplifiée de ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy
Cordialement
Benji1996
Si tu viens à peine de voir les suites, cela risque d'être difficile.
On introduit deux critères de convergence pour une suiteà valeurs dans
(i) Il existe
(ii) Pour tout
Dans le cas (i), on dit que
La première question est de comparer les deux mots de convergence, sont-ils équivalents ? En fait, une suite convergente est toujours une suite de Cauchy, mais une suite de Cauchy peut ne pas être convergente : si tu prends
Dans cet exemple, on a tout de même envi de dire que
C'est l'idée de base de la construction de
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pour (ii), n et m > N.
n peut être inférieur ou supérieur à m ??
Pour la suite (xn) = 1/n ]0;1]
La suite ne contient-elle pas qu'une valeur ? Dans ce cas ce serait pas 1 !?
Car une suite ne contient que des entiers naturels non ?
Mais concrètement ce théorème permet de trouver quoi ?
Pour la suite
Mais fais attention! On pose un ensemble S, et on travaille sur la suite
C'est plus clair maintenant ?
(P.S. : J'ai mis des crochets bien que ce soit un ensemble tout simplement parce que les accolades ne passent pas...)
Ha oui, exact^^
Merci pour cette correction !
Serait-il possible d'avoir un exemple concret pour bien suivre la démarche ?
De plus, concrètement, je ne voie pas à quoi sert ce théorème.
De quel théorème parles-tu ? La complétude est juste une propriété "commode", que l'on aime bien avoir lorsque l'on travaille dans des espaces un peu plus abstrait que la droite réelle ; dans ce qui a été dit, la complétude a simplement servi à illustrer une construction de la droite réelle.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonsoir,
En approfondissant mes recherches, j'ai put trouver mon bonheur ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...de-cauchy.html #6
Il y a juste une petite chose que je ne comprends pas très bien dans le raisonnement. C'est la partie sur la propriété archimédienne que je n'ai jamais vue.
Pourrai-je avoir un peu plus d'explications svp ?Reste à 'bâtir' ce N en utilisant le . Pour ce faire, on utilise la propriété archimédienne des réels qui dit que pour deux réels x,y (disons plus grands que 0 avec x<y), il existe un naturel c tel que cx>y. Soit x = 1 et (il peut prendre n'importe quelle valeur positive, mais ce sont les petites valeurs qui sont intéressantes afin de démontrer des convergences). Alors, on a que . Il existe donc un naturel tel que, selon la propriété archimédienne, , soit . Ainsi, on a bâtit le N dont on avait besoin pour avoir :
Le caractère archimédien c'est de dire que si on choisit un nombre M aussi grand qu'on veut et un nombre x non nul (mais potentiellement très petit) alors on pourra toujours trouver un entier n pour que le produit nx dépasse M. C'est une propriété en fait assez évidente et naturelle (mais pas forcément vraie dans tous les ensembles, d'où son intérêt en tant que caractéristique).
Par contre dans le lien que vous donnez la personne parle des suites de Cauchy à valeurs réelles et utilise le caractère archimédien des réels. Mais faites attention à ne pas utiliser des réels alors que vous êtes en train justement de construire l'ensemble des réels.
Ce n'est bien sûr pas du tout un problème, les suites de Cauchy dans les rationnels se définissent aussi bien et de la même façon que dans les réels, et l'ensemble des rationnels est bien sûr lui-même archimédien.
Dit d'une autre manière, la propriété d'Archimède signifie que
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci beaucoup de vos réponses qui m'ont beaucoup éclairées !
