Définition d'une fonction dérivable

[doko25]

Bonjour,

Voilà je relis la définition de la dérivabilité d'une fonction, à savoir

Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert ]a,b[ si elle est dérivable en tout point de cet intervalle.

Je ne comprend pas pourquoi il est mentionné "intervalle ouvert" dans la définition. Que se passerait-il si il était fermé ??
J'ai cherché un peu sur le net mais je n'ais pas vraiment trouvé de réponse..

Merci
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[Seirios]

Bonjour,

Si l'intervalle est fermé, tu ne peux parler que de dérivée à droite ou de dérivée à gauche, ce qui est légèremment différent. Une fonction pourrait être dérivable mais pas sur pour tout (regarder la valeur absolue). Pour se simplifier la vie, on se place sur des intervalles ouverts.

[doko25]

Merci pour ta réponse mais je ne comprend pas vraiment .... si mon intervalle est entre a et b et que b est la borne de droite, que l'intervalle soit fermé ou ouvert, lui
ajouté un nombre e ferait une nouvelle borne qui ne se situe pas dans l'intervalle..
Pourrais-tu formuler ta réponse de manière plus simple ...

[Seirios]

La valeur absolue est dérivable sur et admet une dérivée à droite en 0, donc en ce sens, la valeur absolue est dérivable sur . Néamoins, quelque soit , la valeur absolue n'est pas dérivable sur (à cause de l'origine).

Maintenant, sur , on pourrait sans trop de problème dire qu'une fonction est dérivable sur si elle est dérivable sur et si elle admet une dérivée à droite en a et une dérivée à gauche en b. Mais en dimension supérieure, cela devient plus délicat et le plus simple est de supposer le domaine de dérivabilité ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

Maintenant, sur , on pourrait sans trop de problème dire qu'une fonction est dérivable sur si elle est dérivable sur et si elle admet une dérivée à droite en a et une dérivée à gauche en b. Mais en dimension supérieure, cela devient plus délicat et le plus simple est de supposer le domaine de dérivabilité ouvert.

Ça devient délicat mais il arrive qu'on le fasse quand même si on veut utiliser des théorèmes de compacité par exemple.

Définir la dérivabilité sur des intervalles fermés ne pose pas de problème conceptuel mais ça demande de faire un peu attention. Comme pour votre cours vous n'en avez pas besoin, votre prof à choisit de faire plus simple. Comme le dit Seirios si vous définissez la dérivabilité sur les fermés vous êtes obligé de dire que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 en tant que fonction de [-1,1] et qu'elle est dérivable en 0 en tant que fonction de [0,1].
Si on ne s'autorise la dérivabilité que sur des ouverts vous pouvez simplement affirmer que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 sans plus préciser de contexte.