Continuité (définiton & fonction)

[The_Anonymous]

Bonjour à tous!

Pour finir avec cette semaine, il me reste deux exercices qui me restent sur les bras, les voici :

Exercice 1. Donne la définiton de continuité en un point .

Je vous donne l'énoncé au mot à mot, il est tel qu'il est sur ma feuille, il ne manque rien, et c'est l'énoncé que je ne comprends pas...

On a vu la définition de continuité d'une fonction en un point , d'une fonction en tout point et d'une fonction continue (pour tout ), et aussi la définiton du prolongement par continuité d'une fonction en un point , mais là, je ne sais pas à quoi fait référence l'énoncé : la continuité d'un point... par rapport à quoi? Je ne pense pas qu'il faut redonner la définiton de notre cours, ça serait un peu trop facile, mais si vous pouviez m'expliquer de quoi il s'agit, merci

Exercice 2. On définit : en posant

.

(P.S. : le \mapsto ne marche pas )

Montre que f est continue en zéro, mais qu'elle est discontinue en tout autre point .

J'ai montré que la fonction était continue en zéro avec et , ça c'était pas trop dur, mais pour ce qui est de démontrer qu'elle ne l'est pas pour tout autre , je n'y arrive pas...

Des indications s'il vous plaît

Ma plus grande reconnaissance

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Pour l'exercice 1, il semble que tu as mélangé une partie de l'énoncé avec des remarques personnelles. En tout cas, rien n'est demandé, donc la réponse est évidente (ne rien répondre).
Pour l'exercice 2, soit tu sais, soit tu démontres que aussi près soit-on d'un rationnel, il existe des irrationnels, et vice versa. Puis tu prends un x non nul, et tu examines les deux cas (x rationnel, x irrationnel) et tu montres que la définition ne marche pas (prendre ).

Cordialement.

[Erdnalexa]

Bonjour

Pour l'Exercice 1 à part donner la définition je ne pense pas qu'il y ait quelque chose à faire

Pour l'exercice 2 je pense qu'on peut procéder comme ça :
Soit la suite
Soit x un rationnel différent de zéro

Or
donc
Donc pour tout x rationnel f n'est pas continue.
Après je sais pas si pour x irrationnel la densité de Q dans R suffit pour conclure.
cordialement

[Erdnalexa]

Au temps pour moi j'avais pas vu qu'on t'avait expliqué.
Une question gg0, je donne peut être trop de détail ? Le but de ce forum c'est plutôt d'aiguiller que de répondre, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Pour le 2), je dois encore réfléchir...

Mais pour le 1), vous me dites qu'il n'y a pas de réponse?

C'est la première fois qu'il y a un exercice aussi étrange...

Je redonne la définition d'une fonction continue en tout point , ou je ne mets carrément rien?

P.S. : Oui Erdnalexa, le but est de conseiller d'indiquer une méthode, pas de donner un corrigé tout fait, peut-être que ta réponse est un poil directe. (Je te conseille de lire "EXERCICES et FORUM" topic épinglé dans cette section )

[gg0]

@ The_Anonymous : Finalement, après relecture, j'ai compris où est l'énoncé, qui est celui d'une question de cours.

@ Erdnalexa : Effectivement, en général on donne des pistes. mais vu ce que tu as écrit, ça n'a pas d'importance, moi-même je ne comprends pas facilement ce que tu écris !

Cordialement.

[The_Anonymous]

Donc je redonne la définiton d'une fonction continue en un point , c'est bien cela?

[Erdnalexa]

@ gg0 : depuis le collège mes profs me disent que je me "complique la vie". Faut croire que c'est vrai x)
@ The_Anonymous : Je vois pas d'autre réponse à la question "Donne la définiton de continuité en un point ."
Cordialement

[S321]

La première question vous demande bien de définir ce qu'est la continuité d'une fonction en un point, mais vous avez raison, l'énoncé est très légèrement faux. Il n'y a pas grand chose que vous puissiez y faire à part préciser sur votre copie que vous considérez que l'énoncé parle de la continuité d'une fonction en un point et non pas de continuité en un point de manière général car sinon ça n'a pas de sens avec votre cours.
Par contre vous ne pourrez malheureusement pas démontrer mathématiquement dans ce cas que l'énoncé est faux. En effet il faudrait alors réussir à démontrer qu'il est impossible de définir une notion générale de "continuité en un réel", ce qui est très mal barré ^^.

Le but de cette question est de vous faire réécrire la définition de la continuité d'une fonction en un point. La question suivante vous demande de démontrer qu'une fonction n'est pas continue donc il faut nier la continuité. C'est pour ça qu'on vous a fait écrire cette définition, c'est pour pouvoir la nier plus efficacement.
Je vous conseil d'ailleurs d'écrire la définition de la continuité le plus précisément possible de préférences en utilisant les quantificateurs si vous le pouvez. Mais faites bien attention de définir correctement vos paramètres et de bien quantifier sur toutes les variables qui interviennent, sinon vous ne pourrez pas nier correctement la proposition.

[The_Anonymous]

Bonjour!

Désolé de faire remonter le topic, je me suis remis au problème et il me reste 2-3 incompréhensions...

Pour l'exercice 1, c'est bon, j'ai reformulé au mieux la définition, particulièrement le bout :

"Soit une fonction réelle f tel que f(a) est définie et {a} pour est continue en a tel que ."

Pour l'exercice 2, je pense avoir trouvé la solution quand a est irrationnel (facile vu que du coup f(a) =0 et on obtient , ce qui est absurde puisque si x est irrationnel, | f(x) | = | x | > x/2 (merci pour l'astuce du message#2 de gg0 ))

Mais pour ce qui est du cas où a est rationnel, j'ai plus de mal....

On obtient cette fois-ci , mais cela n'amène à rien...

Auriez-vous des conseils? Je pense qu'il faut montrer que c'est faux avec les et les , mais comment?

Merci d'avance!

[The_Anonymous]

P.S. : message#2, oui gg0, nous avons vu le théorème de la densité de dans et nous l'avons prouvé

Mais je bloque toujours sur le cas où a est rationnel...

[S321]

tel que .

J'ai pourtant précisé de bien faire attention à quantifier sur toutes les variables qui intervenaient. Il y a la variable x qui apparaît dans votre définition alors que vous n'avez pas définit ce qu'était x.

Pour l'exercice 2, je pense avoir trouvé la solution quand a est irrationnel (facile vu que du coup f(a) =0 et on obtient , ce qui est absurde puisque si x est irrationnel, | f(x) | = | x | > x/2 (merci pour l'astuce du message#2 de gg0 ))

Il faut vraiment que vous retravaillé les rédactions de vos preuves. L'ordre des arguments ne convient pas et vous oubliez l'argument principal à savoir que ℚ est dense dans ℝ et que donc vous pouvez le choisir aussi proche que vous voulez de a. En plus dire x est irrationnel alors que vous voulez dire qu'il est rationnel ça aide pas.

Mais pour ce qui est du cas où a est rationnel, j'ai plus de mal....

On obtient cette fois-ci

Pensez que vous avez un problème lorsque a est rationnel non nul et que x est irrationnel et proche de a. Si vous êtes au courant de la densité de ℝ\ℚ dans ℝ ça peut aider. Sinon il faut le démontrer.

[The_Anonymous]

Merci beaucoup S321!

J'ai pu compléter ma preuve grâce à vous, merci infiniment!