Démonstration d'une limite de suite

**PlaneteF** · 18/03/2013, 23h11

Envoyé par The_Anonymous

$\text{[math]}$ (Si je traduis bien, on commence avec $\text{[math]}$ qui est positive...)

Par la formule de la suite,

$\text{[math]}$

Et si j'ai bien compris, on devrait arriver à une inégalité du genre :

$\text{[math]}$ ...

Mais je ne vois pas trop comment... On pourrait factoriser ainsi :

$\text{[math]}$ , mais je ne vois pas à quoi cela amène...

Non, tu n'y es pas.

1) Calcule explicitement $\text{[math]}$ en faisant apparaître le terme $\text{[math]}$ ;

2) Utilise le fait que la suite est croissante et donc le fait que tous les termes sont $\text{[math]}$ , pour majorer la suite ;

3) Petite récurrence ;

4) Conclusion.

5) Dodo

invitebbd6c0f9 · 18/03/2013, 23h28

Aïe... J'ai de la peine à voir où vous voulez en venir...

J'ai pensé de la sorte... :

$\text{[math]}$ .

Là, j'ai pensé à une exoression conjuguée, mais je ne suis tellement pas sûr...

$\text{[math]}$ ...

Mais je pense que je m'égare, je ne vois pas la majoration de la suite...

Cela vous parait peut-être évident, mais si vous pouviez me détailler où je commets l'erreur de méthode...

Mille merci! =)

invitebbd6c0f9 · 18/03/2013, 23h56

Je réfléchis encore comment procéder selon votre manière (ce n'est pas l'envie d'arriver au 5) qui me manque, détrompez-vous!), mais je n'y arrive pas...

Sinon, au niveau de la méthode elle-même, pour essayer de comprendre (désolé de ne pas vouloir suivre vos instructions bêtement ^^), est-ce que le fait de démontrer que $\text{[math]}$ converge vers 0, c'est-à-dire $\text{[math]}$ vers 2 (si j'ai bien compris ce que vous voulez faire...) suffit à démontrer que 2 est la limite, et dans ce cas-là, pas besoin de montrer $\text{[math]}$ ?

Merci de tes éclaircissements!

inviteaf48d29f · 19/03/2013, 00h03

Pour montrer que (x_n) est majorée par 2 vous pouvez le faire très simplement par récurrence. En supposant que x_n<2 c'est immédiat que x_n+1<2 aussi.

**PlaneteF** · 19/03/2013, 00h07

Envoyé par The_Anonymous

$\text{[math]}$ .

Là, j'ai pensé à une exoression conjuguée, mais je ne suis tellement pas sûr...

$\text{[math]}$ ...

Mais je pense que je m'égare, je ne vois pas la majoration de la suite...

Tu t'embourbes complètement, ... déjà ce sont les termes de la suite $\text{[math]}$ qui sont supérieurs ou égales à $\text{[math]}$ et non pas ceux de la suite $\text{[math]}$ . Ensuite tu ne vois le bon fil conducteur.

Concrètement, qu'est-ce que l'on cherche à faire : appliquer le théorème des gendarmes ou une variante qui consiste à dire que si l'on trouve une suite $\text{[math]}$ avec la suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ alors la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ et donc la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Donc allons-y :

Puisque $\text{[math]}$ est majorée par $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$ ... utilisation de la quantité conjuguée pour faire apparaître le terme $\text{[math]}$ , puis majoration de la quantité obtenue en laissant ce terme, et en utilisant le fait que $\text{[math]}$

N.B. : C'est très proche de ce que tu as présenté dans ton message#25

**PlaneteF** · 19/03/2013, 00h16

Envoyé par S321

Pour montrer que (x_n) est majorée par 2 vous pouvez le faire très simplement par récurrence. En supposant que x_n<2 c'est immédiat que x_n+1<2 aussi.

Salut S321, ... en fait The_Anonymous l'a déjà démontré dans son messsage#21, ... mais c'est vrai que le fil commence à un peu à s'étirer !

invitebbd6c0f9 · 19/03/2013, 00h50

Oh.. Vous êtes adorables, merci de prendre le temps...

Ceci dit, passons aux choses sérieuses!

Donc...

Dites-moi si je me trompe...

$\text{[math]}$ .

Bon, chose faite, j'ai du mal à comprendre comment vous majorer, si on sait que $\text{[math]}$ , remplacez $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ reviendrait à minorer, non?

-Je suis nul, d'accord, je vois jamais où vous voulez en arriver... x)

À moins que... Je me rappelle de $\text{[math]}$ ...

Si on remplace au dénominateur, alors on majore, right?

(Je suis tout excité x) )

On aurait :

$\text{[math]}$ .

Et là, je fais trois tours autour de ma maison... J'ai ce 4, oui, je l'ai!

Huhuhu ... Merci!!!

Bon, c'est pas encore fini, reprenons...

Donc, pour résumer, on a :

$\text{[math]}$ .

En essayant, comme dans #25 de continuer, on itère et on trouve :

$\text{[math]}$ .

(Je suis juste pas sûr si c'est 2 puissance n ou si c'est 2 puissance n moins un... Vous avez la réponse?)

En recopiant comme dans mon exemple, j'arrive à :

Comme 2ⁿ devient arbitrairement grand lorsque n croît, cette différence devient arbitrairement petite. En d'autres termes, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ , on a

$\text{[math]}$ .

Ceci démontre que la limite est 2.

J'ai envie de dire... WE DID IT!, je ne saurais comment vous remercier...

Bon, je suis presque sûr que je suis juste, je vous laisse confirmer....

Comme j'adore gâché l'ambiance, maintenant qu'on sait et qu'on a prouvé cette fichue limite (au fait je dis "on" mais je devrais presque dire "vous" ^^), il y a la deuxième partie de l'exercice, qui, je vous rassure, n'est pas plus facile à mon goût...

En citation de #1 :

Envoyé par The_Anonymous

Cet exercice a une suite, je la mets déjà :

"On définit aussi les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ".

- Calcule $\text{[math]}$ .

- Calcule $\text{[math]}$ .

- Peut-on prolonger f et g par continuité? Admettent-ils une asymptote verticale en 2, à droite ou à gauche?

J'ai déjà déduit pour les deux premiers points qu'on cherche $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Mais après évidemment, si on essaie f(2) et g(2), on tombe respectivement sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Et je ne sais pas comment procéder...

Pour le troisième point, première partie, on peut prolonger f par continuité par la fonction h :

$\text{[math]}$ .

(Parce que $\text{[math]}$ ).

Par contre on ne peut pas prolonger $\text{[math]}$ par continuité car $\text{[math]}$ .

(J'utilise les résultats à prouver dans les deux premiers points.)

Pour la deuxième partie :

$\text{[math]}$ : NON : comme vu précédemment, $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ : OUI : comme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ admet une asymptote verticale en $\text{[math]}$ .

Voilà... Je sais que je vous demande beaucoup...

Je vous remercie encore une fois chaleureusement pour votre soutien!

Cordialement,

Brazeor

P.S. : pas mal le pavé hein ^^

invitebbd6c0f9 · 19/03/2013, 00h57

Envoyé par PlaneteF

Concrètement, qu'est-ce que l'on cherche à faire : appliquer le théorème des gendarmes ou une variante qui consiste à dire que si l'on trouve une suite $\text{[math]}$ avec la suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$ alors la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ et donc la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Euh... Je remarque que je n'ai pas utiliser le Théorème...

C'est grave, docteur?

Plus sérieusement, ma méthode est juste et/ou comment fait-on avec ce Théroème-ci?

**PlaneteF** · 19/03/2013, 01h21

Envoyé par The_Anonymous

$\text{[math]}$ .

Non ce n'est pas juste car $\text{[math]}$ , ...

De toute manière on s'en tape

de la valeur exacte de cette quantité, la seule chose qu'il est important de remarquer ici, c'est que :

$\text{[math]}$ et ainsi $\text{[math]}$

Et du coup on la tient la suite $\text{[math]}$ ! ... $\text{[math]}$ qui converge bien vers $\text{[math]}$ !

N.B. : Tout ce que tu as écris par la suite est de trop, le résultat est démontré là !

invitebbd6c0f9 · 19/03/2013, 11h47

Ah d'accord merci encore!

Désolé de ne pas avoir répondu avant, j'étais trop fatigué...

J'ai pu compléter ma première partie, je vous en remercie

Maintenant, si vous le voulez bien, je voudrais résoudre la deuxième partie...

(Cf #1 ou citation de #37)

Je ne sais pas comment calculer les deux limites, je pense qu'il doit y avoir une subtilité avec cos(pi*x), on voit qu'avec x entier, cela devient 1, mais je pense que si on l'approche par des valeurs autres (lesquelles?), on peut arriver à la solution...

Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît?

(Pensez-vous bon que je recrée un nouveau topic ou pas?)

Cordialement

inviteaf48d29f · 19/03/2013, 13h15

Envoyé par PlaneteF

Salut S321, ... en fait The_Anonymous l'a déjà démontré dans son messsage#21, ... mais c'est vrai que le fil commence à un peu à s'étirer !

Euh oui, j'avais pas vu que le topic avait plusieurs pages et j'ai répondu à la fin de la première page. A ma décharge il était déjà assez tard ^^.

**gg0** · 19/03/2013, 13h22

Bonjour.

Je ne vois pas où est la difficulté pour calculer les limites : f est continue une fois prolongée en 2. Donc ... Où bien la fonction $\text{[math]}$ est continue. Mais ça donne plus de travail.
Pour g, comme elle tend vers l'infini, c'est aussi évident (ou tu mets en place une preuve à partir de la définition). En utilisant la limite à gauche de g en 2, puisque ta suite tend vers 2 en croissant.
Il est bien évident qu'on ne va pas calculer f(2) et g(2) puisque ces notations n'ont pas de sens...

Cordialement.

NB " avec cos(pi*x), on voit qu'avec x entier pair, cela devient 1". Pour x=1 on obtient -1.

invitebac64493 · 19/03/2013, 20h21

Bonjour ,
J'ai une solution peut-être mauvaise mais plus simple d'abord une récurrence ou je fais Xn+1>Xn j'arrive sur Xn+2>Xn+1 sans problèmes puis je fais une récurrence Xn<2 encore une fois sans problème je fais le théoreme de convergence monotone elle est donc convergente après je fais limxn+1(quand n tend vers +oo) = l puis je rédige etc (sa c'est pas à moi de le faire) l=racine(2l) je tombe sur un psd de solutions 2 et 0 je conclue que c'est 2 (car Xn croissante et X0=racine(2) ) et voila j'ai finis.
Sa me parait juste j'éspère avoir été compris.

invitebbd6c0f9 · 19/03/2013, 20h41

@gg0 : #NotaBene : tout à fait, très pertinent!

Mais en fait, ce pour quoi je vous demande de l'aide, c'est comment calculer ces limites, comment arrive-t-on à ce résultat.

Par quelles étapes peut-on calculer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Je comprends bien que f est continue une fois prolongée, ça, pas de problème, mais comment fait-on le calcul?

Si vous pouviez me donner des indications... Merci beaucoup! =)

@jeandesjean : je vous ai compris, pas de soucis, je pense avoir compris cette partie!

Cordialement

**PlaneteF** · 19/03/2013, 22h04

Envoyé par jeandesjean

Bonjour ,
J'ai une solution peut-être mauvaise mais plus simple d'abord une récurrence ou je fais Xn+1>Xn j'arrive sur Xn+2>Xn+1 sans problèmes puis je fais une récurrence Xn<2 encore une fois sans problème je fais le théoreme de convergence monotone elle est donc convergente après je fais limxn+1(quand n tend vers +oo) = l puis je rédige etc (sa c'est pas à moi de le faire) l=racine(2l) je tombe sur un psd de solutions 2 et 0 je conclue que c'est 2 (car Xn croissante et X0=racine(2) ) et voila j'ai finis.
Sa me parait juste j'éspère avoir été compris.

Bonsoir,

T'arrives un peu après la bataille

--> Méthode discutée du message#4 au message #26, soit au total 23 messages !!!

Cordialement

**gg0** · 19/03/2013, 22h22

Ben ...

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
Preuve immédiate (si tu n'as pas déjà le théorème) en combinant la définition de la limite de la suite avec la définition de la continuité : pour n suffisamment, grand, x_n est suffisamment proche de 2 pour que f(x_n) soit aussi proche de 0 que l'on veut.
Bien entendu, j'ai repris ton affirmation $\text{[math]}$ que je n'ai pas vérifiée. Mais c'est toi qui l'as dit.

Cordialement.

invitebbd6c0f9 · 19/03/2013, 23h20

Oui, en fait, ce que je cherche c'est calculer $\text{[math]}$ !

J'ai miraculeusement et mystérieusement obtenu ce résultat (bon ok, W|A j'avoue... x) ), mais je ne sais pas comment y arriver, et je vous demande s'il y a une façon quelconque par des opérations écrites (enfin une démarche concrète quoi, pas un résultat obtenu par un calculateur) de calculer cette limite.

1) Est-il possible de calculer cette (ou plutôt ces (avec celle pour g(x) )) limites ?

2) Comment fait-on?

Cordialement

**PlaneteF** · 20/03/2013, 00h00

Envoyé par The_Anonymous

Oui, en fait, ce que je cherche c'est calculer $\text{[math]}$ !

J'ai miraculeusement et mystérieusement obtenu ce résultat (bon ok, W|A j'avoue... x) ), mais je ne sais pas comment y arriver, et je vous demande s'il y a une façon quelconque par des opérations écrites (enfin une démarche concrète quoi, pas un résultat obtenu par un calculateur) de calculer cette limite.

1) Est-il possible de calculer cette (ou plutôt ces (avec celle pour g(x) )) limites ?

2) Comment fait-on?

Tu peux écrire :

$\text{[math]}$

En passant à la limite ( $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ ), tu as la définition d'une dérivée en un point, que je te laisse déterminer.

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 00h01

Yay.... Les dérivées-intégrales-primitives, c'est l'année prochaine...

Je n'ai pas encore vu cette notion, y'a-t-il un autre moyen?

**PlaneteF** · 20/03/2013, 00h10

Supprimé ...

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 00h14

Au fait, je pensais à quelque chose pour g(x)...

On pourrait écrire :

$\text{[math]}$ .

Bon, il faut d'abord trouver la limite pour f(x)...

On peut donc ensuite faire vite fait un tableau de signe pour conclure que par la gauche on a moins l'infini et à droite plus l'infini... Mais il faut donc d'abord trouver la limite pour f(x)....

Cordialement

ÉDIT POUR #50 : Oui, on sait $\text{[math]}$ , mais je ne vois pas en quoi cela change les choses... Qu'est-ce que cela apporte?

Bon, fausse piste apparemment... x)

**PlaneteF** · 20/03/2013, 00h27

Envoyé par The_Anonymous

$\text{[math]}$ .

Bon, il faut d'abord trouver la limite pour f(x)...

Euuuhhh, mais pourquoi tout ce bricolage

... Où est le problème pour la limite de $\text{[math]}$

... il n'y a pas de forme indéterminée et tu l'as dit toi même, la limite est de la forme $\text{[math]}$ ... donc le résultat est immédiat !

Envoyé par The_Anonymous

Bon, fausse piste apparemment... x)

Oui c'était pour une autre limite

**PlaneteF** · 20/03/2013, 00h34

Envoyé par PlaneteF

(...) la limite est de la forme $\text{[math]}$ ... donc le résultat est immédiat !

Ou $\text{[math]}$ je précise !

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 00h37

Ah d'accord....

Ouais, cette limite me reste sur les bras, je sais vraiment pas comment la résoudre...

**gg0** · 20/03/2013, 10h02

Bonjour, The_Anonymous.

Quelques remarques
* Une limite se calcule; c'est une équation ou un problème qu'on résout.
* Si tu ne sais pas démontrer que la limite est 0, c'est une très mauvaise idée de l'affirmer.
* Difficile de te proposer une preuve si tu n'as pas de connaissances sur les limites. Donc dis-nous ce que tu sais, en particulier sur des limites de sin ou cos liés à des x ou x². Genre la limite en 0 de sin(x)/x.
Cordialement.

NB : Si tu connais la limite en 0 de sin(x)/x, tu peux passer à (cos(x)-1)/x² en posant x=2t, avec t qui tend vers 0.

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 11h54

*Oui, désolé

*Ok...

*Oui je connais sinx/x, x->0 = 1 et un peu toutes les variantes...

Je n'ai pas compris dans votre NB comment vous passez de (sinx/x) à (cos(x)-1)/x^2... Pouvez-vous me décrire plus précisément comment vous procédez...? Je pensais : (sinx/x) * (sinx/x) = (sin^2(x)/x^2) = (1-cos^2(x)/x^2), je ne sais pas comment vous faites pour arriver à (cos(x)-1)...

Je cherche en fait un moyen de passer de (cos(pi*x)-1)/(x-2) par un changement de variable ou quelque chose d'autre (-> quoi?) pour arriver sur des limites bien connues trigonométriques par exemple... Si vous voyez ce aue je veux dire, je vous serais très reconnaissant de m'aider

Cordialement

**gg0** · 20/03/2013, 18h27

Bonsoir.

Pour (cos(pi*x)-1)/(x-2), le changement de variables assez évident t=x-2 te ramène à une limite en 0.

Ensuite, en posant pi*t = 2u et en passant en sin(u), tu trouveras la limite. Je m'inspire ici de la traditionnelle preuve sur (1-cos(x)/x².

Cordialement.

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 19h33

Ah d'accord merci infiniment!

J'ai pu compléter, je vous remercie encore une fois chaleureusement pour tout votre soutien, et je mets un terme à mes messages sur ce topic (enfin...!)

On se retrouvera peut-être pour un peu de géométrie vectorielle, héhé...

Cordialement,

Brazeor

**PlaneteF** · 20/03/2013, 20h01

Autre façon de présenter le calcul avec utilisation du résultat de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et au numérateur on utilise la formule : $\text{[math]}$

invitebbd6c0f9 · 20/03/2013, 22h34

A très intéressant je n'y avais pas pensé, très ingénieux!

Merci encore pour toutes ces méthodes!

Cordialement

Démonstration d'une limite de suite

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