Lien entre primitives, fonctions et intégrales

[invitef0cd3d2e]

Bonjour;

Etant en TS, je cherche à comprendre le lien entre ces 3 notions.
Cependant, il arrive un moment ou je bloque.
Au départ, on a: F(x) = et par la suite: = F(b) - F(a).
Tout d'abord, je ne comprend pas la première définition de la primitive ou du moins, je n'en suis pas sur. Une primitive d'une fonction f(t) peut bien être définit par F(x) = ? Mais dans ce cas, cela donne bien une seule primitive. Laquelle? Celle qui s'annule en a? Mais dans ce cas, certaines primitives ne peuvent pas être définit ainsi puisque certaines ne s'annulent pas (ex: F(x) = x²+1 ...) Ou est l'erreur dans mon raisonnement?

Ensuite, 2nd question: De la même façon, lorsque l'on a F(x) = , a quoi cela correspond par rapport à la fonction f? L'aire sous la courbe entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=x? Mais dans ce cas, si on a comme exemple: F(x) = x² - 3 et f(x) = 2x, ça ne fonctionne pas non?

Et enfin, une dernière question liée avec la 2nd. Si je veux l'aire sous la courbe de f(x) entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=b mettons. Je suis obligé de prendre = F(b) - F(0) ou je peux prendre la valeur d'une seule primitive si c'est la bonne? (En gros, est-ce que si je prend F_c (x) avec c = 0 cela fonctionne?

Merci!
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[invitea3eb043e]

Tu oublies juste qu'une primitive n'est définie qu'à une constante additive près. Si F(x) = x² + 1 ne s'annule jamais, il n'en va pas de même pour x² - 5 qui est tout aussi primitive que x² + 1
Pour l'aire, ce que tu dis est presque juste mais c'est l'aire entre t = a et t=x que ça calcule.
La dernière question : oui, tu prends une fonction F comme tu veux, comme tu fais une différence, tu trouveras la même chose quelle que soit la constante ajoutée. Alors autant prendre zéro si c'est plus simple.

[invitef0cd3d2e]

Hello!
Déja merci pour la réponse!
Mais du coup la question c'est: Si j'ai f(x) = 2x, une primitive F(x)=x² représente l'aire entre Cf, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=0 et x=x puisque x² s'annule en 0.
Donc avec F(x) = x² -9, qui s'annule en 3 donc, ça représentera l'air entre Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-5 et x=x? (Je suis bien conscient que ça sert a rien dans la pratique, mais c'est juste pour comprendre la notion).

Mais avec F(x) = x² +1, ça représente quoi en aire par rapport a f(x)?

Merci

[invitef0cd3d2e]

L'équation x=3 et non x=-5 pardon !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Je suis très dubitatif sur ce que tu écris, car "ça" est l'un des mots les plus flous de la langue française. De plus, F(x) n'est pas une intégrale, mais la valeur d'une fonction. Il vaut mieux t'éclaircir les idées en différenciant :
* Le lien entre primitives et intégrale
* L'interprétation de l'intégrale d'une fonction positive comme une aire : est l'aire située entre la courbe de f (courbe située au dessus de l'axe des x), l'axe des x et les droites d'équation x=a et x=b.

Cordialement.

NB : "et les droites d'équation x=0 et x=x " n'a pas de sens ! x=x n'est pas l'équation d'une droite !!

[invitef0cd3d2e]

Oui mais pourtant, on a bien F(x) = ce qui définit une primitive qui s'annule en a non?
Mais ce que je cherche du coup, c'est plutôt le lien entre une fonction et ça primitive. Qu'est qu'une primitive, hormis l'inverse d'une dérivée? Il y a bien une question d'aire sous la courbe non?

[gg0]

Qu'est qu'une primitive, hormis l'inverse d'une dérivée?

Rien d'autre ! f est une primitive de g si f'=g. Il n'y a pas à chercher plus loin.

Ensuite, il y a des théorèmes que je t'ai rappelés. Mais si tu cherches à penser la primitive comme une aire, tu vas te perdre dans les méandres d'une pensée malsaine. Déjà, penser une intégrale comme une aire est malsain (beaucoup d'élèves ont des problèmes à cause de ça), car on confond un calcul fait avec une intégrale et ce qu'est vraiment l'intégrale. On utilise des intégrales pour calculer des distances, des longueurs, des intensités électriques, ....tout ça ce ne sont pas des aires.

Cordialement.

NB : les définitions mathématiques sont à prendre comme elles sont, au mot près. C'est en les connaissant bien qu'on "comprend", pas en faisant de la vulgarisation par des images approximatives. C'est parfois frustrant, mais c'est très efficace.

[invitef0cd3d2e]

Je sais bien, on les as utilisée en physique, pour calculer la vitesse et la position.
Mais on ne nous as pas expliqué pourquoi on les utilisait, on nous as juste balancé la formule ...
Et la en maths, on voit ça comme une aire car c'est explicitement ce qui est marqué dans le programme, à savoir "définition de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur [a,b] comme aire sous la courbe".

Donc forcément, si on cherche à savoir ce que ça représente, on pense à une aire ou on ne se représente pas l'intégrale, mais c'est pas forcément le but ...

En tout cas merci de vos réponses.

[gg0]

On utilise les primitives lorsqu'on connaît la dérivée d'une fonction. On a des intégrales en physique lorsque une quantité qu'on cherch, rendue variable est connue par sa dérivée : Si on connaît l'accélération, on trouve la vitesse; si on a la vitesse, on trouve la position.
La présentation actuelle en TS en maths est effectivement assez absurde !!

[invite2c46a2cb]

Bonjour !
Je voudrais m'assurer d'une chose, dans le même style que Raganof, à propos des primitives qui s'annulent.

avec l'unique primitive de s'annulant en

Mettons
On a donc:

avec la primitive de s'annulant en ..
Or, ne s'annule jamais.. Ce qui veut dire que ces deux dernières lignes sont totalement fausses.

Mais donc, cela signifierait aussi que ne sera jamais LA primitive d'une fonction, s'annulant en , puisque cette fonction ne s'annule pas ?
Et que, par conséquent, LA primitive de s'annulant en serait , .. ?

[Médiat]

Mettons
On a donc:

Non, en posant F une primitive (quelconque) de f, par exemple on a , qui s'annule bien pour x = a.

[gg0]

Bonjour.

Le fait que certaines primitives s'annulent ne veut pas dire que n'importe quelle primitive s'annule. x²+1 est une primitive de 2x qui ne s'annule jamais. Idempour 1/x.

Corfdialement.

[invitea3eb043e]

Quand j'étais en prépa, on se faisait enguirlander quand on disait LA primitive, il fallait dire UNE primitive.

[gg0]

Et pourtant dans son message #10 Teddy-mension emploie l'expression LA primitive à bon escient. Même dans "Mais donc, cela signifierait aussi que ne sera jamais LA primitive d'une fonction," où l'emploi de LA est d'usage courant ("Je ne serai jamais le président de la république" pour "je ne serai jamais président de la république")

Mais effectivement, l'emploi d'un article défini à tort est l'indice d'une incompréhension.


Cordialement.

[invite51d17075]

Quand j'étais en prépa, on se faisait enguirlander quand on disait LA primitive, il fallait dire UNE primitive.

j'ai le même souvenir !!

sinon pour se familiariser avec les notion de primitive et surtout d'intégrale, on peut se livrer à un petit exercice.
( qui montre bien qu'une intégrale n'est pas simplement "l'aire sous la courbe".

prenons un cercle de centre R ( rayon en 0,0,0 ) sur le plan 0,x,y
en cherchant des bonnes primitives à chaque fois et en les utilisant pour calculer les intégrales.
on en deduit, en fonction de R :
le rayon du cercle
la surface du disque et la surface de la sphère de centre O
le volume de la sphère.

[invite2c46a2cb]

Non, en posant F une primitive (quelconque) de f, par exemple on a , qui s'annule bien pour x = a.

Je parlais en fait de La fonction qui s'annule en , soit (et pas , il est logique que ça s'annule en , quelle que soit la primitive). C'est-à-dire:
,

[invite51d17075]

la reponse de Mediat que tu mets en citation te donne cette fonction, qui n'est pas F(x) mais I(x)
ou est le pb ?

[invite2c46a2cb]

Ben là, Mediat me donne une primitive telle que , et non pas telle que non ?
Comme si je prenais , avec laquelle on a:

Ici, on a , avec
.. Ah mais..
Ah mais d'accord, du coup, , puisque .. Donc pour n'importe quelle primitive, les constantes vont s'annuler, donc genre, même si on prenait , on retomberait sur , puisque .. ?
Je crois que je viens de comprendre un truc.. Merci ! x)

[gg0]

J'espère que tu as vraiment compris, parce que ce que tu écrivais n'avait pas bien de sens :
" une primitive telle que " ??? Si x est une variable, ça veut dire que F(x)=cte=F(a). Est-ce vraiment ça que tu voulais écrire ?
Avec ton habitude malsaine d'appeler F(x) n'importe quelle primitive, tu t'es manifestement perdu ... ta dernière formule est aussi bizarre (où est passé le ln(a) ???).

Il serait bon que tu fasses plus attention à définir les notations que tu emploies, les définir pour toi, de façon à noter différemment les choses différentes (ou pour lesquelles on ne sait pas si elles sont égales ou non).

Cordialement.

[invite2c46a2cb]

J'espère que tu as vraiment compris, parce que ce que tu écrivais n'avait pas bien de sens :
" une primitive telle que " ??? Si x est une variable, ça veut dire que F(x)=cte=F(a). Est-ce vraiment ça que tu voulais écrire ?

" telle que ", je sous-entendais , je ne l'ai pas reprécisé, c'est vrai..

ta dernière formule est aussi bizarre (où est passé le ln(a) ???).

Ici, je fais référence à avec (j'ai appelé la borne inférieure de l'intégrale depuis le début en fait..), soit ..

Veuillez m'excuser si je ne suis pas toujours très clair, c'est vrai que j'ai tout nommé ..